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1、多刚体系统动力学大作业作业题目：具有非完整约束的多刚体系统Lagrange分析学院：航空与材料工程学瘟教师：高蒲云学生：皮兴汴学号：09010044二O—O年一月具有非完整约束的多刚体系统Lagrange分析前言：现代科学和工程技术提出了许多复杂系统的动力学问题，各种车辆，机械，机器人，水下工作机，航天器等的研制都需要在制造样机以前对系统进行运动学和动力学的分析，结构参数的综合优化和全数字仿真，否则将可能失败造成巨大浪费。在工程实际中所遇到的问题大多数是非自有系统——即所研究的对象位置速度在运动中常受到预先规定的某些限制，这些限制统称为约束。用牛顿定律直接解决这一类问题时往往显得很困难。例
2、如：由N个质点组成的系统，首先要解除约束，代之以约束力，约束反力通常是未知的，然后，列出3N个包含未知约束力的二阶微分方程组，再加上约束方程组组成一个数目很大的方程组；显然方程数目越多，求解越困难，在有些情况下很可能无解。在这种情况下，Lagrange从另一种途径出发来研究关于非自有质点系统的问题。也就是Lagrange方法。基本原理：虚功原理。用数学分析的方法统一处理任意非自有质点系统的动力学问题。求解问题:质量均为的两个质点Ml和M2,由一长为/的无重刚杆相连，并在铅垂面内运动，系统运动时，有一约來使其质心的速度始终沿着杆的方句。假设开始时，杆处于水平，质心的初速度为vQ，杆的初角速度
3、为叫，坐标放置如下图所示。求解两质点的运动和所系统的方程建立：广义虚位移：考虑由/I个质点组成的系统受s个完整双侧约朿/Jw3，r4，.U)=0(众=1，2,3…为设％义免，…如，=为系统的一组广义坐标，我们可以将各质点的坐标表示为：n=*，％，％，•••如，0G*=1，2,3,•••；!)巾虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到：N〜(f=l，2,3".n)k=^Qk其中，Sqk{k=W……TV)为广义坐标仏的变分。动力学普遍方程：考虑由n个质点组成的系统，设第/个质点的质量为mz,矢径为加速度为其上作用有主动力f，约束力fv/。令为第/个质点的惯性力，则由达朗贝尔原理，作用在整个质点
4、系上的主动力，约束力合惯性力应组成平衡力系。若系统只受理想约束作用，则由虚位移原理得II/!Y(Fi+FNi+FnSri=TSFi-Ori=Qz=iz=iLagrange乘子法：非完整系统动力学的基本I'Mj题是：己知主动力Fs.(X，i，O和系统各质点的一组为约束所允许的初始位罝x、.Q和初始速度=求系统的运动和约束反力。在这个问题巾耑要确定的未知量是3N个X、.和3N个/?、.，总共有6N个未知量，但现在只有3N个动力学方程：nus=+RCd，2,3."37V)和(/+g)个约朿方程，而一般总是(/+g)<3N，故方程的数目小于未知量的数目，那么，问题就不能得到完全的确定解，必须再补
5、充n=37V-(Z+g)个独立的方程，这可以从约束的力学性质得到。考虑巾N各质点组成的具有理想约柬的离散的质点系统，该系统作用有/个完整约來,g个一阶线性非完整约束，所以，在3N个虚位移分量中，只有M=3/V-(/+g)个是独立的。不失一般性，设+个不独立的分量为＜5，心2，及13，.-5'.用虚位移所表示的约束方程为：艺Ar/X=O(r=l,2,3……l+g)5=1由该方程，我们可以将不独立的分量8xv8x2,Sx^-Sxl立的分量3N表示。将这L个不独立的分量代人理想约束条件=0,.V=l则式中独立的分量及&+1，&，及k+3，…及前的系数必须为0,由此，便得到代，/?2,/?y/?
6、3/v之间的n个方程，这样再加上3N个动力学方程及(/+g)个约束方程，共6N个方程，便可以决定6N个未知量。3N3N将［Ajxs=0的每个方程分别人(r=1,2,-L),然后求和，再与［=0式相减得:^=15=13NLi=r=l在上式中，对于不独立的虚位移分量(^^(^^^'，…^&可以这样处理，即通过适当选择/lf(r=l，2v£)而使这些分ft前而的系数为0,余下独立的虚位移分S前而的系数必须全为0,于是便有：(5=1,2,3.•…3N)r=这样就将3N个未知量通过约朿方程以L个未知量表示出来了，所以，系统未知量的个数与方程数量相等，达到封闭。如果系统受到有完整约來及非完整约來为
7、：fa(x,r)=0(a=1,2,3…"Z)(x,x,r)=0(/3=1,2,…g)则：对于完整约束：a=对于非完整约束：其中，人，人，乂3<**人，/1，/2，/3，***^，都是待定乘子，将以上两式代入牛顿方程有：msxs=Fx+t^+i7^(^=1,2,3…….3N)a=似、p=^Xs此即为第一类Lagrange方程。求解：设两质点的坐标分别为M2(x2,^2),系统的完整约束方程为:去(%2-•Xi)2+(
