圆锥曲线离心率的求法(教师版).doc

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1、离心率的专题复习椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．一、直接求出、，求解已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（）A.B.C.D.解：由、知，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.B.C.D解：由题设，，则，，因此选C变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上

2、，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）ABCD解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为第11页共11页，则解得，，则，故选A二、构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.　　B.　　C.　　D.解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，即，得，解得（舍去），故选D变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，

3、则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又,∴,两边平方，得，整理得，得或，又，∴，∴，∴，故选A第11页共11页变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（）ABCD解：如图所示，不妨设，，，则，又，在中，由余弦定理，得,即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。解：变式练习1．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的

4、离心率为.变式练习2．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是.变式练习3．如图，和分别是双曲线第11页共11页的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为.四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心

5、率为（）ABCD解：变式练习2：．已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为.变式练习3：已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若，则k=.五、构建关于的不等式，求的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式．（一）基本问题第11页共11页例．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是．Ex1．设，则双曲线的离心率

6、的取值范围是．（二）数形结合例．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是.Ex1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是.（三）利用焦半径的取值范围例1．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．(1,)变：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆的右准线上存在一点P，使得PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是．Ex1．双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且

7、PF1

8、

9、=2

10、PF2

11、,则双曲线离心率的取值范围为．Ex2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围是．第11页共11页配套练习1.设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）A.B.C.D.2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）ABCD4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线