解圆锥曲线离心率的求法大全.doc

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1、求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。例１.已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D．变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为()A.B.C.D.解：由F1、F2的坐标知2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，

2、∴a=2，c=1,所以离心率e==.故选C.变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为()A.B.C.D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e==,因此选C变式练习３：点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得．则。故选A。二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。6例２.已知F1、F

3、2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.　　B.　　C.　　D.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。由焦半径公式，即，得，解得，故选D。变式练习１：设双曲线﹣＝1(0

4、解得e2＝4或e2＝.又02，∴e2＝4，∴e＝2.故选A.变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）解：如图所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0),F2(c,0),则

5、MF1

6、=

7、MF2

8、=.又

9、F1F2

10、＝2c，在△F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2＝,即＝cos120°＝﹣，∴＝﹣，∵b2＝c2﹣a2，∴＝﹣，∴3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例３．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴

11、的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。解：如右图所示，有6四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4.设椭圆+＝1(a>b>0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是.解：如图1所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵AD⊥l1于D，∴

12、AD

13、为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，e===，即e=.故填.变式练习：五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5.设，则二次曲线的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.（）另：由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈(0，)，得a2＝tan

14、θ，b2=cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+cotθ,∴e2＝＝＝1+cot2θ,∵θ∈(0，)，∴cot2θ>1,∴e2>2，∴e>.故选D.例6如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(﹣c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高

15、．由定比分点坐标公式得x0＝＝，y0＝．设双曲线的方程为﹣＝1，则离心率e=.由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得﹣＝1①，将点E的坐标代入双曲线方程得()2－()2＝1②．再将e=①、②得﹣＝1，∴＝﹣1③，()26－()2＝1④．将③式代入④式，整理得（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－．由题设≤λ≤得，≤1－≤．解得≤e≤．所以双曲线的离心率的取值范围为［，］．练习：1.（天津理4）设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线