浅谈圆锥曲线离心率的求法1

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1、专题一:浅谈圆锥曲线离心率的求法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基木量。我们知道椭圆的离心率双曲线的离心率•"，抛物线的离心率因此，求椭圆、双111］线的离心率就成了历年高考的热点。在此结合高考题，介绍求I员I锥曲线的离心率的几种常川方法，以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力。c-、求椭圆和双曲线的离心率e（苍）的值;1.直接根据条件分别求出8、C,再求解e.例1、（2007安徽文卷）椭圆x2+4y2=l的离心率为（(B)1(A)f分析：本题

2、整理出椭圆的标准方程后可直接求出a,c,再利用离心率公式来求解。解：由xI3卄1,得心，b蔦，从而汽7故2二_c=晅,e旦晅，故选A。2a2例2、（2013陕西文卷）双曲线話七=1的离心率为解：工9CT16=宀計討所以离心率为弓【点评】此类题比较简单，属于最基础题型。2•根据条件得出关于“、b、c间的-个齐次等式，再求咗（1）条件点接给出等式求e.例3.（2007全国文卷）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）(A)-(B)—(C)丄(D)—3322分析：求离心率e关键是将a、b间等式转化

3、为a、c间等式。33解：・,2a=2（2b）,22b,又•••在椭圆中aWc蔦al,4（泸7心亍故选D.【点评】此题属于棊础题型，考查椭閲中a、b、c间关系式及其求离心率e.（2）在焦点三角形中得IIIa.b.c间的一个齐次等式，求e.22例4、（2008陕西文理卷）双曲线二〒二l（a〉0,b>0）的左、右焦点分别是F】、F2,SCTF】作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF?垂直于x轴,则双曲线的离线率为（）(A)V6(B)V3(C)V2(D)分析：求离心率e关键是找a、b、c间一个等式。解:

4、在直角三角形MF2F冲,角MF1F2等于30°,

5、F]F2

6、=2c,A

7、MF2

8、=2ctan30°2a/3二O3'4J32a/3IMF,I=21MF，

9、二一-c,又由双111]线定义知道右支上点M满足

10、MFi

11、-

12、MF21=2a,—-c=2a,e=V3.故选B.22例5、（2013全国新课标II卷）、设椭圆C:冷+刍二1@〉"〉0）的左、crtr右焦点分别为FpF2,P是C上的点，戶坊丄片坊,ZPF{F2=3O°f则C的离心率为（(d)t4V3(c4解：因为P耳丄F{F2^PF{F2=30°，所以PF2=

13、2ctan30°=迹c,PF、3PF+PF2=Mlc=2a,所以-=-L=—f即椭圆的离心率为＜3,选D.3aJ333【点评】在焦点三角形中，常根据条件将三边用C表示出來，再根据圆锥曲线定义找出8、C间筹式求出Go二、求椭圆和双曲线离心率e的取值范围。求解此类题关键是找出关于a、b、c间的一个齐次不等式，从而求出离心率e的取值范围。X2V2例6、(2008福建文理卷)双曲线—-^=1(&>0,b>0)的两个焦点分别是Fl、F2,若PcTh~为其上一点,且

14、PFi

15、=2

16、PF2

17、,则双曲线离心率的取值范围

18、为()(A)(1,3)(B)(1,3](C)(3,+8)(D)[3,+8)分析：求离心率e的取值范围关键是找a、b、c间一个不等式。解:

19、PFi

20、=21PF21,XV

21、PFi

22、-

23、PF2

24、=2a,A

25、PF：

26、=4a,

27、PF2

28、=2a,又V

29、PF】

30、+1PF2

31、2

32、丽

33、(利用三角形三边之间关系找出不等式),・・・6aM2c,・・・eW3,又：•双曲线e>l,.l

34、动点到一定点与到一焦点的距离和求最值方法：利用圆锥1111线的定义转化求最值法.根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平血上两点之间的距离、点线之间的距离等.工V例1：已知点F】、F2是椭圆—+y=1的左右焦点，定点A(1,1),P是椭圆上动点,WiJ

35、PA

36、+

37、PF2

38、的最小值、最大值分别为分析:根据椭圆定义：IPF]

39、+1PF2

40、=2a,・・・1PFJ=2a-1PF】1,・•・1PA1+1PF21=IPA1-1PFi1+2a,这样求

41、PA

42、+

43、PF2

44、最值问题就转化为求iPAl-lPFd的最值问题.画

45、出图知道当点P、A、R二点共线时取得最值.

46、PA

47、-

48、PFi

49、的最小值为-lAFil，最大值为

50、AFi

51、,A

52、PA

53、+

54、PF2

55、的最小值为2a-

56、AFih最大值为2a+

57、AF»

58、.解:由椭圆定义知:

59、PA

60、+

61、PF2

62、=

63、PA

64、-

65、PFi

66、+2a而-

67、AF】

68、W

69、PA

70、-

71、PF】

72、W

73、AFj,又由椭圆方程苧「

74、,.*2履曲,.心。),,.胸=历,,.4侖一応訥

75、+冋W4屈+行【点评】此类问题一•般先利用圆锥曲线的定义转化，再结