浅谈圆锥曲线离心率的求法

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1、浅谈圆锥曲线离心率的求法                                                     离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们知道椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。因此，求椭圆、双曲线的离心率就成了历年高考的热点。在此结合高考题，介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力。一、求椭圆和双曲线的离心率e（e=）的值；1.直接根据条件分别求出a、c，再求解e.例1、(2007安徽文卷)椭圆x2+4y2=

2、1的离心率为（    ）（A）       （B）      （C）       （D）  分析：本题整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式来求解。解：由  x2+4y2=1,得a2=1，b2=，从而c2=，故a=1,c=,e==，故选A。例2、(2013陕西文卷)双曲线的离心率为.解：【点评】此类题比较简单，属于最基础题型。2.根据条件得出关于a、b、c间的一个齐次等式，再求e=.（1）条件直接给出等式求e.例3、(2007全国文卷)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）（A）（B）（C）（D）分析：求离心率e关键是

3、将a、b间等式转化为a、c间等式。解：∵2a=2(2b),∴a=2b,又∵在椭圆中a2=b2+c2,∴c2=a2.∴e2=()2=.∴e=.故选D.【点评】此题属于基础题型，考查椭圆中a、b、c间关系式及其求离心率e.（2）在焦点三角形中得出a、b、c间的一个齐次等式，求e.例4、(2008陕西文理卷)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离线率为()（A）（B）（C）（D）分析:求离心率e关键是找a、b、c间一个等式。解:在直角三角形MF2F1中，角MF

4、1F2等于30°，

5、F1F2

6、=2c,∴

7、MF2

8、=2ctan30°=c,

9、MF1

10、=2

11、MF2

12、=c,又由双曲线定义知道右支上点M满足

13、MF1

14、-

15、MF2

16、=2a,∴c=2a,∴e=.故选B.例5、(2013全国新课标Ⅱ卷)、设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）解：因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.【点评】在焦点三角形中，常根据条件将三边用c表示出来，再根据圆锥曲线定义找出a、c间等式求出e。二、求椭圆和双曲线离心率e的取值范围。求解此类题关键是找出关于a、b、c间的一个齐次不等式，从而求出离心

17、率e的取值范围。例6、（2008福建文理卷）双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点分别是F1、F2,若P为其上一点，且

18、PF1

19、=2

20、PF2

21、，则双曲线离心率的取值范围为（）（A）(1,3)（B）(1,3]（C）（3，+∞）（D）[3,+∞)分析：求离心率e的取值范围关键是找a、b、c间一个不等式。解：∵

22、PF1

23、=2

24、PF2

25、，又∵

26、PF1

27、-

28、PF2

29、=2a,∴

30、PF1

31、=4a,

32、PF2

33、=2a,又∵

34、PF1

35、+

36、PF2

37、≥

38、F1F2

39、(利用三角形三边之间关系找出不等式)，∴6a≥2c,∴e≤3,又∵双曲线e>1,∴1

40、点三角形中，求离心率e的取值范围常利用三角形三边之间关系找出不等式.