反例教学——中学数学探究性学习的重要环节

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1、万方数据上海中学数学·2014年第7～8期反例教学——中学数学探究性学习的重要环节361000福建省厦门市湖滨中学程金元众所周知，要判断一个命题是真命题，必须经过严格的证明，而判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。所谓举反例就是举出符合命题的题设，而不满足命题结论的例子．因其具有构造性，所以举反例实际上是一种创造性思维的体现．但在中学数学的教学中，强调证明有余，而对反例教学却明显重视不判断HF与AB是否垂直，并说明理由．’分析：可以运用由果索因的方法逆推(如图14)嚣)嚯)图14对模型图还可以思考下列问题：(1)题目已知条件是否全部用上?(2)所用的模型图是

2、否是最简洁的?是否存在一题多解?(3)结论HF上AB，是否可以与四个题设中AC上BC，CD上AB，DE上AC，么1+么2=180。的一个任意互换?(4)几何图形能否变化?三、用模型图法改变辅导学生的方式利用模型图法改变数学个别辅导的方式．过去当学生完成一道应用题或几何题有困难时，来请教师帮助，教师一般的做法是：对于应用题，怎样设未知数，如何列方程或方程组；对于平面几何题，先证什么，再证什么，最后证什么．然后亲切地问学生，你听懂了吗?学生一般会说：“老师我懂了．”其实学生听懂的是这道题的解题过程，离问题解决策略和方法还有一段距离．波利亚说过：“学习任何知识的最佳

3、途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质、联系．”‘一个有责任心的老师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一题有意义又不太复杂的题目，去帮助学生发觉题目的各个方面，在指导学生解题的过够．其实，反例和证明在知识发现的过程中具有同等地位，是“观察——归纳——猜想——证明(反例)”这一数学知识探究过程中的重要环节．可以说，反例是数学探究方法之一，是数学发现方式之一，在科学发展史上，构造反例与完成证明一样推动着数学的发展，反例在培养学生质疑、探究、发现等理科精神方程中，提高他们的能力．”因为学生在学习中碰到的困难非常多，教师

4、不可能也没有精力一一作出解答．根据波利亚的理论，教师辅导的只是思路和方法，纠正学生认识上的错误，具体完成还得靠学生自己．例如应用题，教师可提醒学生首先列出带有文字说明的文本框，得到一个或两个等量关系．要完成这一步，学生须仔细阅题理解问题，寻找等量关系，确定设未知数是直接的或是间接的，最后列出方程或方程组．如果此时学生还不能完成，教师应及时指出学生思维上的问题，直到学生自己搞清楚为止．例如平面几何，首先提示学生画出数学分析模型图，师生共同对模型图进行研究，因果关系是否成立?使用的概念和性质是什么?由于初中数学一般是基础题，学生自己通过这一番探索，问题基本能自己解

5、决．教师辅导个别学生，不能只是帮助学生完成此题的解决，求量而弃质．而是要引导学生掌握问题解决的策略，养成良好的学习习惯与方法，才能达到事半功倍的效果．数学教学中的模型图法应用，是数形结合的体现．在应用题教学中，有利于做好中小学算术与代数间的衔接过渡．它是一种学生动手做数学的学习方式，在探索中形成了经验体会，掌握的知识容易活用．把模型图作为一个研究平台，在教学中能降低难度，提高学生的参与度，作为知识的生长点提升拓展，有利于培养学生的思维能力．它改变了学生个别辅导的方式，是数学教学有效向高效转化的一种教学方法．参考文献[1]方燕萍，王兄．新加坡数学课程中模型图法的

6、应用：算术与代数间的衔接[J]．上海中学数学，2012，12．[2]张丰．从问题到建议——中小学教育研究行动指南[M]．教育科学出版社，2013．万方数据上海中学数学·2014年第7～8期57面具有特殊的魅力，起着重要的作用一、反例与探究性学习举反例就是构造符合命题的题设而不符合命题结论的例子，其本质是判断命题的不成立．在中学数学探究性学习中，学生在教师的引导下，收集信息，分析问题，解决问题，通过“观察——比较——分析——归纳——猜想——证明”这一基本过程，充分感悟体验数学思想、方法以及数学知识的形成过程，形成科学的学习方法和探究方法．它以教材为基本的探究内容

7、，尤其在形成猜想基本阶段，反例为学生提供充分的表达、质疑、讨论的机会．通过探究学习，学生不仅能获得知识，更重要的是，还能培养他们的探究和创新能力，增加他们的情感体验．在探究学习中，举反例能力的培养和知识的获得同样重要．为此，教师在学生初一下学期学习“命题、定理、证明”时，不仅要重视对反例概念的引入介绍与教学，而且还应该多介绍数学发展史上利用反例促进数学发展的例子，从而渗透和培养学生运用反例进行质疑发现的精神．既能说明反例的巨大作用，又能为学生理解接受的著名反例有欧拉方程猜想，1769年，欧拉证明了费马方程T3+y3一z3无非平凡整数解后，也提出了一个猜想：方程

8、．ri+z；+⋯+z：一，一T：(咒≥