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时间:2020-03-28
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1、北京邮电大学2008——2009学年第一学期《工科数学分析》期末考试试卷(A卷)参考评分规范一、填空(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.极限.解答:2.当时,的最大值是.解答:3.设当时,是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则正整数等于.解答:24.已知则.解答:5.极限.解答:6..解答:7.设是连续函数,且,则.解答:6/68.方程的通解是.解答:9..解答:10._____________________________.解答:二、(6分)设是的原函数,且,当时,有,试求.解:
2、由,知即解出代入初始条件,即得,故由此得().三、(8分)对证明存在使得,并求6/6证明:由Taylor公式,对任意存在使得.又因为故当时有由此知.两边取极限得,故.四、(10分)设抛物线过原点,且当时,.又知该抛物线与直线及轴所围成的图形面积是.求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体体积V最小.解:由于抛物线过原点,所以c=0.由围成图形的面积可知,整理得,即于是旋转体体积6/6令,得唯一驻点,又知该问题存在最小值,故当时旋转体体积最小.五、(7分)设在上连续,在内可导,且求证:使得.证明:令则在
3、上连续,在内可导,且.故由罗尔定理:使得,而,因此.六、(7分)设证明证明:设当时因此函数严格单调递增,且从而当时,七、(12分)(本大题共两个小题,每小题6分)6/6(1)求摆线第一拱的长度.解:(2)判别积分的敛散性.解:为的奇点..因为,而收敛,故收敛;又因为,,且收敛,所以绝对收敛.综上所述,可知收敛.八、(10分)求微分方程的通解,以及满足条件的特解.解:(1)特征方程,特征根6/6,故所对应的齐次线性方程的通解为注意到自由项的形式,由线性方程特解的叠加原理,先设方程特解为其中分别为方
4、程(1)(2)的特解.(i)由于不是特征根,故设的特解为则代入(1)比较系数得于是的特解为由于不是特征根,故设的特解为代入(2)比较系数得于是得特解为故原方程的通解为(2)将代入方程的通解中易知满足条件的特解为6/6
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