工科数分2013-2014（下）a答案

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1、处京航空航夭丈巻2013-2014学年第二学期期末《口斗数学分析(2)》试卷(A)班号学号姓名成绩题号—•三四五六七总分成绩阅卷人校对人2014年06月27H一.求解下面问题(每小题6分，满分48分)1.设w(x,y,z)为连续函数，为是以Af(x0,y0,z0)为中心，半径为7?的球面，求极限lim—J—rffu(x,y,z)dS・解li巴4,JJ/心,y,z)〃S=比(心北域)建议：中间过程4分2.计算JJx=+a2y2)dxdy.D解做广义的坐标变换T：则J=abr.0

2、abrdxdyD"町”dO^Pdr=丄a'b?兀.e~ydxdy,其中Z)是由x=0,y=1及『=兀所围成的区域.D解：因为Je~y2dy无法用初等函数表示，所以必须考虑积分的顺序。Jjxe~ydxdy=fdy^x2e~y2dxD9“=e~y~.—dyJo36e建议：中间过程4分，结果2分J?v23.已知椭圆型区域2)={(兀,刃二+「51}・利用广义极坐标变换计算积分x=arcos0,y=b厂sin0.atr1.求曲而工：z=x2+y2(0

3、,所以A=JJdSz=J]Jl+z；+z；旳边=jj^/1+4%2-^-4y2dxdy=『d&[771+4/2dr二兰(27%・D=U兀632.计算三重积分jjj[(cosy)2012a：+i^lxdydz，其中V由z=l与z=+y?所成的立.v解：由于V是关于yoz平而对称的，且(cosy)20,2x是关于兀的奇函数，所以JU(cosy)2012xdxdydz=0,于是VJJJ[(cosy严2x+^[ixdydz=3出dxdydz=3「〃西r^/rjdz=仏VV(写出对称性给2分，计算过程适当给分)3.计算第一型曲面积分JJCx+y+MdS,其中E为

4、上半球面x2+/+z2=6/2(z>0),I其中Q>0・(可利用对称性)解：因为JJ(x+y+z)2^5=jj(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)dS,且由于工关于坐标面EZxoz和zoy对称，且函数2xy+2yz关于y是奇函数，2xz关于兀是奇函数，所以[j3+2yz)〃S=0,JJ2xzdS=0.于是+y+z)2〃S二+y2+z2+2xy+2yz+2xz)dS、ZI=JJ+y1+z?)〃S=6f2JdS=2加4.£X1.计算曲线积分［zds,其屮厂为圆锥螺线x=tcost,y=tsint,z=t,te［0,2龙］.解：因为x=cosr-rs

5、inr,y=sin/+rcos/,z=1,所以力=J(x尸+(y尸+(z)2=((cost・rsinr)2+(sinr+rcosr)2+1=V2+r,——3分于是tyj2+t2dt=-［(2+4龙2)%一⑵％］3分JrJo32.计算第二型曲面积分JJxdydz+ydzdx+zdxdy,其中X={(兀,y,z)卜+y+z=1,xn0,yn0,zn0},取上侧.解：由于曲面的法向量为刃={1丄1},DXY={(x9y)x+y

6、求方程y^+3y'-4y=xe2jc的通解.解：齐次方程的特征方程为厂2+3厂_4=0,解得rx—_4,込=1•所以齐次方程的通解为y=Cte-4x+C2ex，其屮G,C2是任意常数.又因为2=2不是特征方程的根，所以可设非齐次方程的特解为/=(Ax+B>2v,再求得才’=(2Ax+2B+)「"=(4Ax+4B+4A)«2j将代入原方程，得6A=1,6B+7A=0・17解得A蔦，，-花•于是原方程的通解为V-Cte~4A+C2ex+(~x~~)e2x-6Jo三、(本题10分)设曲线积分/=I(兀+2)；皿+(处+刃处在区域D内与路径无关,(1)写出满足

7、题设的区域D的条件，并求常数(2)设曲线厶为从点A(1,O)沿上半平面到点B(2,O)的一段弧，求曲线积分/.解：(1)由于dP_2(x2+y2)-2y(x+2y)矿(宀卄，dQ_a(x2+y$)一2x(ax+y)dx(x2+y2)2所以由甞=器》=一2.uyoxD:任意一个不包含原点的单连通区域.(2)I=[2-ch=ln2.建议：(1)7分；(2)3分。四、(本题12分)(利用Green公式)计算E浮券’其中I是以(口)为中心,4为半径的圆周，取顺时针方向.解：记乙所围成的闭区域为。，令"曲尹旷曲则当4+9丿2工0时,有^Q_9j2-4x23P(4

8、x2+9j2)2作位于L所围区域内部的椭圆/：4x2+9j2=£2,记L和/所围成的区域为D,