东南大学工科数分第四章习题

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1、习题4.11．写出下列级数的一般项，并用表示级数：（1）；（2）；（3）；（4）。2．已知级数的部分和如下，试写出该级数并求其和：（1）；（2）。3．利用级数收敛性的定义判别下列级数的敛散性.并对收敛级数求和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。4．证明：数列收敛级数收敛。这个结论表明，也能将研究数列的敛散性问题转化为研究级数的敛散性问题.5．若级数与中有一个收敛，另一个发散，证明：级数必发散。如果所给两个级数均发散，那么级数是否必发散？6．已知求的和.597．设级数的前项之和，并且,

2、证明：该级数收敛且其和为.8．利用级数性质判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）。9．试用柯西收敛原理证明：若级数收敛，则.10．研究级数的收敛性.11．下列命题是否正确？若正确给出证明，若不正确，举出反例.（1）若,且收敛，则必收敛；（2）若收敛，且，则；（3）若收敛，且，则必收敛；（4）若数列单调减，且,则必收敛；（5）若发散，则必发散；（6）级数收敛的充分必要条件是前项之和所构成的数列有界.12．用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5

3、）；（6）；（7）。13．用比值判别法判别下列级数的敛散性：59（1）；（2）；（3）；（4）。14．用根值判别法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）。15．判别下列级数的敛散性.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。16．证明：若，则级数发散.17．设级数收敛，，且，则.18．利用级数理论证明：当时，是比高阶的无穷小量.19．讨论下列级数的敛散性，并对收敛级数说明是绝对收敛还是条件收敛：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；59（7）；（8）。

4、20．判定级数的敛散性.21．设为实数，讨论级数的敛散性.22．已知级数与都收敛，且，证明也收敛.23．若级数都收敛，证明：，都绝对收敛.24．设，且有，证明：（1）若级数收敛，则收敛；（2）若级数发散，则发散.25．设，且，证明：（1）当时，级数收敛；（2）当时，则级数发散.26．用Cauchy收敛准则判别下列级数的敛散性:（1）；（2）。27．在级数中，设，，则与分别称为的正部和负部，证明：（1）绝对收敛的充分必要条件是正项级数与都收敛；59（2）条件收敛的必要条件是与都发散.习题4.21．说

5、明函数项级数的逐点收敛与一致收敛的区别和联系，并且用语言表述级数在集合上不一致收敛于函数.2．证明：若函数列在上一致收敛于f，则在D上一致收敛于

6、f

7、.3．设在D上一致收敛于f，在D上一致收敛于g，证明在D上一致收敛于.4．讨论下列函数列在所给区间内的一致收敛性：（1）；（2）；（3）；5．讨论下列级数的一致收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；6．设在[0，a]上连续，又，证明：在[0，a]上一致收敛于零.7．证明：级数关于在上一致收敛但对任何并非绝对收敛.而虽在上绝对收敛，但并不一致

8、收敛.598．证明：若在上一致收敛，那么在上也一致收敛.9．证明：函数在内连续，并有连续的导函数.10．（函数列的Cauchy收敛原理）设是集合D上的一个函数列，证明：在D上一致收敛的充要条件为是D上的基本列，即使得，恒有.11．若级数在开区间内任一闭区间上一致收敛，则称该级数在上内闭一致收敛。证明：若在上内闭一致收敛，则它在内逐点收敛.若在内闭一致收敛于，且在上连续，则在上连续.12．如果，在上是单调函数，并且级数在的两端点处绝对收敛，证明它在上绝对一致收敛（即绝对值级数一致收敛）.习题4.31

9、．求下列各级数的收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。592．设幂级数在处条件收敛，求的收敛区间.3．设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径：（1）；（2）。4．求下列函数的Maclaurin展开式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。5．设，求。6．求下列函数在给定点处的Taylor展开式：（1）；（2）；（3）；（4）。7．求下列幂级数的和函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。8．

10、利用幂级数求下列常数项级数的和：（1）；（2）；（3）；（4）。599．说明函数在处的Taylor公式，Taylor级数以及Taylor展开式有什么区别和联系.10．求下列各数的近似值，精确到.（1）e；（3）sin10°；（3）；（4）。11．利用Euler公式将与展开成x的幂级数.12．将（1），（2）展开为x的幂级数。13．设幂级数的收敛区间为，并且在处绝对收敛，证明它在上一致收敛.14．如果正项级数收敛，证明：在上连续.15．设，，且,证明：习题4.41．什么叫正交函数系？