正文描述:《东南大学几何与代数第四章习题讲解》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、几代习题(第四章)王小六东南大学线性代数课程关于作业第四章的习题解析参见笔记错误的说法:线性有关(应该是线性相关)不线性相关(应该是线性无关)习题四(B)101,2,…,t线性无关1,2,…,s线性无关1,2,…,t线性无关1,2,…,s线性无关“当且仅当”其实就是“充要条件”要证两个方向习题四(B)101,2,…,t线性无关1,2,…,s线性无关错误的证法:1,2,…,t线性无关由k11+k22+…+kss=θ,可得k1=k2=…=ks=0.k1
2、1+k2(1+2)+…+ks(1+2+…+s)=θ(k1+k2+…+ks)1+(k2+…+ks)2+…+kss=θ1,2,…,s的系数全为01,2,…,s线性无关习题四(B)12要求的是“充要条件”向量组1,2,3线性无关由k11+k22+ks3=可推出k1=k2=k3=0.k11+k22+ks3=只有零解(1,2,3)k1k2k3=只有零解(a1+b2,a2+b3,a3+b1)k1k2k3=只有零解习题四(B)1
3、2(a1+b2,a2+b3,a3+b1)k1k2k3=只有零解(1,2,3)k1k2k3=只有零解a0bba00bak1k2k3=只有零解a0bba00ba由1,2,3的线性无关…习题四(B)17与第12题类似习题四(B)19求极大无关组,两种方法(1)先求秩r,找r个无关向量(2)将向量以列向量形式构成矩阵,做初等行变换…习题四(B)20(1)xyz=2y-3zyz=210-301y+z基向量:(210),(-3,0,1)习题四(B)20(2)23692
4、4520001000基向量行变换23692450030020-1是基向量(参见引理4.1和例4.15)列变换不是基向量习题四(B)231T2T1T2T=C1=c111+c212,2=c121+c222.C=c11c12c21c22因为此时1,2,1,2是行向量,所以1212=CT或者等价地,25(1)向量组正交化后还需单位化27,29注意两点:(AB)T=BTAT;矩阵乘法不能随意交换31有两种角度:化成阶梯形;行列式35其实只需证向量组线性无关(因为已知解空
5、间的维数是3);如果要说明向量组可以线性表示任一个解向量,请把系数求出来。注:在此题的证明过程中,有些同学似乎用了这样的错误结论:设k0,k1,…,kt不全为零,然后得到k0+k1+…+kt不等于零.方法一:令线性组合等于零,然后证系数全为零;方法二:先证ξ与Ax=θ的线性无关的解向量所构成的向量组是线性无关的(需证明),然后再证题中的向量组是无关的36(2)要说明η构成基础解系,前提是η不为零向量37在求导出组的基础解系时,一定要利用导出组的通解来求40(1)与32题是一样的;(2)线性表示的
6、系数最好要具体写出来.有的书中此题答案有误:第一行第二个元素应该为-1+2t本门课程的内容体系本门课程:研究矩阵的理论第二章矩阵矩阵的定义和运算;可逆矩阵:特殊矩阵;分块矩阵:为了更方便的运算;初等变换:矩阵之间的一种变换;第五章:相似变换(方阵)第六章:可逆变换(实对称阵)特征值惯性指数矩阵世界,纷繁复杂,如何找到不变的永恒秩第四章:向量空间是一种特殊的矩阵空间寻找向量空间的极小生成元(基)寻找向量组的极大无关组研究向量组中向量间的关系(线性相关性)有了基,就有了坐标;定义内积,引入正交的概念
7、构造一组标准正交生成元两个应用刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间)刻画Ax=b的解空间,即寻找基础解系等第三章几何空间(R3):可看作是第四章的铺垫,也可看作一种特殊的向量空间。第一章行列式和方程组:它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别是遇到方阵时)或求解方程组的问题。
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