东南大学线性代数几何代数历年试题

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1、01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一(30%)填空题：1.设汉=(1,2)，夕=(1,一1)，则a1H==；(6Z7/?)100=:<120、，234、2.设矩阵/I二031’B=056，则行<130〉、007〉列式AB~}=3.若向量组％，％，％线性无关，则当参数々_时，6r,-at也线性无关；(1110114.矩阵A=001.000ri1的伴随矩阵1A*=5.设矩阵A及4+£均可逆，则0=£—（/!+£）一1，且（7-1=:6.与向量6T=（1，O,1）,0=（1，1，1）均正交的单位14量为;7.四点A（l，1，

2、1），5（1，1，x）,C（2,1，1），£＞（2,），，3）共面的充要条件为；8.设实二次型/（x,,x2,x3）=x,2++X3+2x2x3,则当々满足条件时，/Upx2，x3）=l是椭球面；当々满足条件吋，/（XpX2，X3）=l是柱面。二（8%）记％为由曲线P=绕Z-轴旋转所产生x=0的旋转曲而，7T2为以;T,与平而&:J+J，+Z=1的交线为准线，母线平行于Z-轴的柱面。试给出曲面A及;^的方程，并画出％被;^所截有界部分在x-:v平囬上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。x+2y-z=2x-y平而乖直

3、的平而方程.五（12%）设线性方程组三（8%）求经过直线且与[-%+y-2z=1四（12%）求矩阵方程XA=2X+B的解，其中，X,+x2+又4=0X,+3x2++5义4=2—X)+P'—2%4=q5x,+2x24-(P+3)x4=-i1.问：当参数^6/满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解?2.当方程组有无穷多解时，求出其通解<111P己知六(12%)设矩阵3—120J一3人’—秩(A)=2。1.求参数A的值；2.求一4x2矩阵B，使得AB=O,且秩(fl)=2;"00k0与B=IJ0rz3.问.•是否存在秩大

4、于2的矩阵A/使得AM二0?为什么？七(12%)设实对称矩阵相似.1.求参数Z:，/的值；2.求一正交阵2,使得=八(6%)己知n阶方阵A相似于对角阵，并且，4的特征向量均是矩阵B的特征向量。证明：=02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷一.填空题、单选题（每小题3分，共36分）3.若A是正交矩阵，则行列式=4.空间四点A（l，l，l），5（2,3,4）,C（l，2，々），/）（一1，4,9）共面的充要条件是_:5.点P（2,—1,1）到直线==£的距离2-21为；6.若4阶方阵A的秩为2,则伴随矩阵，的秩为_;广1-2"

5、)7.若可逆矩阵吏=5=,则方103j阵A的特征多项式为_；8.若3阶方阵4使/-A，2/-A，A+3/都不可逆，则A与对角阵相似(其中，/是3阶单位阵);"01P9.若/4=%1y与对角阵相合，则Cx，y)=;、1-20?10.设其中列向线性无关，A3=2A,-A2+A4,则齐次线性方程组Ax=O的一•个基础解系是_；11.设A，B都是3阶方阵,AB=O,r(A)-r(B)=2,则dA)+dB)=()(A)5；(B)4;(03；(D)212.设n阶矩阵A满足/l2=2A，则以下结论中未必(A)声一/可逆，且(B)A=0或A=2

6、/;(C)若2不是A的特征值，则A=0;(D)

7、A卜0或A=2/。二.计算题(每小题8分，共24分)2015110113.12-31301214.求直线/:==在平面2127T：x+y—2z+l=0上的垂直投影直线方程.r102"15.设X4=AB+X，其屮020,「101〉r-i、三.计算题、解答题(三小题共32分)16.设向量组a-p>2一1，汉2=103二，2、11"2"5-3<2>V=是6^，6Z2,6Z3生成的空间.己知维(V)=2,fieV.(1)求6T，/?;(2)求V的一个基，并求々在此基下的坐标；(3)求V的

8、一个标准正交基.17.用正交变换化简二次曲而方程X

9、2+^2-4x,x2-2x,x3-2x2x3=1求出正交变换和标准形)并指出曲面类型.18.设D为由yoz平面中的直线z二0,直线2=>’，(>^0)及抛物线>’+22=2围成的平面区域.将D绕＞，轴旋转一周得旋转体fl.（1）画出平而区域的阁形；（2）分别写出围成Q的两块曲而$，52的方程；（3）求，52的交线/在ZOT平面上的投影曲线C的方程；（4）画出S,，S2和/，C的图形.四.证明题、解答题（每小题4分，共8分）17.设7是线性方程组心=6的一个解，H是导出组Av=

10、O的基础解系.证明：77,6+77，＜2+7线性无关.18.设汉是3维非零实列向量，

11、

12、a

13、

14、=^.又A=aaT.（1）求A的秩；（2）求A的全部特征值；（3）问A是否与对角阵相似？（4）求I-A3.03-04学年第二学期几何与代数期终考试试卷一.(24%)填空