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1、线性函数的概念线性函数表现为直线，这只是儿何意义。那么所谓“线性''的代数意义是什么呢？实际上，最基本的意义只有两条：可加性和比例性。1）可加性:即如果函数/（X）是线性的，那么有：/（可+勺）=/（可）+/（勺）一•句话：和的函数等于函数的和。2、比例性：也叫做齐次性、数乘性或均匀性，即如果函数丿2丿是线性的，那么有f（loc）=kf（x）其中佥是常数。一句话：比例的函数等于函数的比例；或者说自变量缩放，函数也同等比例地缩放。注：对于函数f（x）=ax+b而言不满足此比例性，=akx+b,=akx--kb,因此f（kx）jf：k
2、f（x）9严格的讲，/（天）=ax+b不能再叫线性函数了。简单点说，只有过原点的最简单的直线fM=kx才被称为一元线性函数。可加性与比例性组合在一块就是“线性”的全部意义了，即有f（k}x}+k2x2）=k}f（xy）+k2f（x2）,其中心，&是常数。所以，看一个函数是不是线性函数，只需要证明上面这个等式是否成立，或（1）（2）分别证明也行。实际上，高等的线性概念止是从最简单的比例函数进行推广的，在大学所学习的线性代数里的线性函数概念被扩展成一个多元线性方程组所表示的一个对应关系。如方程组（你…你”是不变量）,是由m个n元线性函数
3、组成的，而且这m个线性函数还是齐次函数，他们全部过原点。看看，高等概念的线性函数是由初等的最简单的过原点的直线扩展来的，如果加=刃，那么这个方程组所确定的儿何图形也是一条“直线”！而且，这个直线也是过原点的。（加工〃的图形是平面或超平面的，平面是多线性的）注：线性齐次函数形如尹二kg+k2x2+..出儿,这个正比例函数的式子中每项里的变量出现的次数都是一次的（没有常数项），整齐划一，故此称为“齐次”的，全称为n元线性齐次函数。4）上式的形式为进一步简写为:y=/⑴=Kx5、1&2,…An/这里：y=/(x)=y2,K=kk八21＞
4、八22’…■Kn、X=kk.51〉“2,…到了这里，我们终于看到，初等线性函数和高等线性函数的概念终于得到了形式上的统一。多元线性函数的几何意义在前面的线性函数的推广中，从一元线性函数一下子推广到了n元线性函数组，跨度有点大了。下面补一下中间过程的课，探讨一下从一元线性函数如何推广到n元线性函数的。首先我们看看从一元线性函数fg=kx拓展到二元的线性函数/（召,兀）=&內+心兀的几何解释。这个儿何解释并不是唯一的，目的是让读者认识和理解线性的概念。拓展的第一步，坐标系由二维扩展到三维：/（^）=kx的直线图形是在二维笛卡尔处标下给出
5、的几何图形，把它放到三维笛卡尔坐标系下，其函数表达式应写为/（召宀）=话或者f（X^X2）=k2X2O不失一般性,我们取/（和七）=何召为=kx的扩维表达式c我们知道，/（兀,兀）=«召的图形是一个过原点的平面。扩维后由一根直线变成了一个平面。这是因为函数/（曲,吃）=«內与新生长出来的坐标轴兀没有关系，X2可以取任意值；换句话说，X?的形象的扩展过程可以这样想象：二维平面坐标系里有一根直线图形，这时有兀轴过原点以垂直于坐标系召〜/（召）的平面向右方向（右手系）生长出来，然后原来的那条直线/（召）=«召沿着坐标轴兀方向向右滑动，无数
6、个平行的直线被吃轴象竹帘子一样串起来，平铺得到了/（召,兀）=«內的平面。这个平面是由无数的直线铺成的，因此，平面也是“线性”的。拓展的第二步，两个平面加起来：显然，要得到函数/（旺,兀）=丘內+心吃的图形，只要把三维坐标系下的两个函数f（X}^2）=k}X}和/（召,兀）二心兀所对应的图形加起来即可得到。一般情形下，两个平面相加仍然因此线性函数/（召,兀）=«內+心兀的儿何图形是一个过原点的平面。可以想象，由二元线性函数/（召,兀）=代召+心兀继续扩展到三元及n元的线性函数/（州,兀…,兀）*內+心吃+•••+«/（坐标系由三维扩
7、展到四维及其n维）后，其儿何图形仍然是一个“平面”，是一个扩展意义上的平面，常被称为超平面。实际上，在以后的线性代数学习中，坐标轴的正交不是必须的，取消了正交的要求后，我们在平面上就可以画出来大于四维以上的空间来了，你就理解了由n个向量张成的n个空间的理论，进而想象高维空间的图像也就不是一个困难的事情了。到此我们明白了多元线性函数的“线性”不能单纯的理解为空间中的一条直线了，根据上面的讨论，把线性函数儿何图形想象成一个平面更有代表性c实际上，把n个n元线性函数组成一个满秩方程组才能表示为一条直线。线性映射的几何意义前面说，初等线性函
8、数/(A)=kx和高等线性函数/(x)=Kx的表达式一致，因此线性函数的概念形式上是统一的。这种统一在数学的实质意义上也是一致的，就是函数的“线性"，实质上就是指变量之间的“线性关系”。我们再来回味一下这句关于线性函数中心性质的话：线
