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1、线性代数概念的几何意义东莞理工学院城市学院教师：李红艳主要内容二元、三元线性方程组的几何意义二阶、三阶行列式的几何意义平面上线性变换的几何意义二阶矩阵特征值的几何意义中向量组的线性相关性的几何意义二元、三元线性方程组的几何意义二元一次方程在几何上表示的是一条直线，则含两个二元一次方程的方程组在几何上则表示两条直线的位置关系：相交====〉有唯一解平行====〉无解重合====〉无穷多解例1求解下列四个线性方程组以方程组（1）为例：在MATLAB的M文件编辑器中，输入symsx1x2%定义x1、x2为符号变量U1=rref([1,2,5;2
2、,-3,-4])%把增广矩阵通过初等行变换%变为最简阶梯矩阵subplot(2,2,1)%准备画2×2个图形中的第一个ezplot('x1+2*x2=5')%绘制直线x1+2*x2=5holdon%保留原来图形ezplot('2*x1-3*x2=-4')%再绘制直线2*x1-3*x2=-4title('x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4')%在图上标注x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4gridon%显示网格绘制图形如图1所示：方程组（1）的解为；方程组（2）的通解为：；方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解。从运行结果
3、可以看出:方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解（适定）；方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解（欠定）；方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点，即无解；方程组（4）的三条直线不共点，则也无解（超定），可求最小二乘解。从图1中可以形象地看出:AX=b最小二乘解命令：x=pinv(A)*bx=Ab三个三元一次方程构成的方程组：若三个平面只有一个交点，即方程组有唯一解；若三个平面相交于一直线，即方程组有无穷多解；若三个平面没有交点或交线，即方程组无解。三元一次方程组的几何表示例2求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解的情况。
4、利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得：图2三元线性方程组解的几何意义方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有唯一解；方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，该齐次线性方程组有无穷多解，且其对应的解空间是一维的；方程组（3）的三个平面没有共同的交点，即方程组无解；方程组（4）也无解。从图2中可以看出：二阶、三阶行列式的几何意义二维情形：在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为：、，如下图所示，求平行四边形OACB的面积。分析：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于点D。显
5、然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，则有：根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列式:二阶行列式的几何意义一般情况下也可以证明：过原点的两条直线(向量)，如构成的一个平行四边形的面积为A、B两点坐标所构成的二阶行列式的绝对值。三维情形已知三个向量由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为三阶行列式的绝对值（如图）平面上线性变换(y=Ax)的几何意义例3已知向量及矩阵请分析经过线性变换后，向量与原向量的几何关系。绘制图形如下图所示：图3线性变换的几何意义例4.设二维平面上第一象限中的一个单位方块，其
6、四个顶点的数据可写成把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果Ci=AiB。令B=（X1，X2，X3，X4），则AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形：B=[0,1,1,0;0,0,1,1];subplot(2,3,1),fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r')A1=[-1,0;0,1],C1=A1*Bsubplot(2,3,2),fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')绘制几何图形可得：对二维
7、空间（平面），行列式的几何意义实际上是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变换所造成的图形的面积变化，取决于该变换矩阵的行列式,A1,A4和A5的行列式绝对值都是1，所以变换后图形的面积不改变。而A2和A3的行列式分别为1.5和0.5，变换后图形的面积的增加或减少倍数等于对应行列式的绝对值。平面上线性变换的几何意义图像变换中的示例在二维的图像变换模型中，最基本的图像变换有平移、旋转、缩放（包括各向同性和各向异性）、反射和错切。由这些基本的图像变换组合，可以得到刚性变换、相似变换、仿射变换、透视变换等复合变换。二阶矩阵特征值的几何意义例5
8、.已知矩阵求它们的特征值和特征向量，并绘制特征向量图，分析其几何意义。解：在MATLAB命令窗口输入：A1=[-1,3;2,5];[V1,D1]=eig(A1)eigshow(A1)A2=[1
