线性代数中概念的几何引入课件.ppt

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1、高淑萍2010.12线性代数中概念的几何意义教育心理学研究表明：人获取外界信息中，83%来自视觉，11%来自听觉，4%来自嗅觉，1%来自味觉。几何直观图形的重要性主要内容二元、三元线性方程组的几何意义二阶、三阶行列式的几何意义平面上线性变换的几何意义二阶矩阵特征值的几何意义向量组的线性相关性的几何意义二元、三元线性方程组的几何意义二元一次方程在几何上表示的是一条直线，则含两个二元一次方程的方程组在几何上则表示两条直线的位置关系：相交====〉有惟一解平行====〉无解重合====〉无穷多解例1求解下列四

2、个线性方程组解：用MATLAB解线性方程组Ax=b的方法有：用MATLAB绘制直线的简单方法为：（1）求逆法（A为方阵）：x=inv(A)*b，或x=A^-1*b（2）初等行变换法：rref([A,b])（3）左除法：x=Abezplot(‘……')单引号内为直线方程以方程组（1）为例：在MATLAB程序运行E01.msymsx1x2%定义x1、x2为符号变量U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])%增广矩阵变为最简阶梯矩阵subplot(2,2,1)%准备画2×2个图形中的第一个ezplot

3、('x1+2*x2=5')%绘制直线x1+2*x2=5holdon%保留原来图形ezplot('2*x1-3*x2=-4')%再绘制直线2*x1-3*x2=-4title('x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4')%在图上标注x1+2*x2=52*x1-3*x2=-4gridon%显示网格绘制图形如图所示：方程组（1）的解为；方程组（2）的通解为：；方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解.从运行结果可以看出:方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解；方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解

4、；方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点即无解；方程组（4）的三条直线不共点，则也无解。从图1中可以形象地看出:三个三元一次方程构成的方程组：若三个平面只有一个交点,则方程组有惟一解;若三个平面相交于一条直线,则方程组有无穷多解;若三个平面没有交点或交线,则方程组无解。三元一次方程组在几何上表示例2求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解的情况。解：用MATLAB的rref命令可以解得。用MATLAB绘制平面的简单方法为：程序E02.mezmesh(‘……’)单引号内为平面方程利用MATLAB绘图

5、可得：图2三元线性方程组解的几何意义方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有唯一解；方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，解空间是一维的；方程组（3）的三个平面没有共同的交点，即方程组无解；方程组（4）也无解。从图2中可以看出：二阶、三阶行列式的几何意义二维情形：在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为：、，如下图所示。求平行四边形OACB的面积。分析：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于点D。显然可以

6、得到三角形CDB和三角形AEO全等，则有：根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列式:一般情况下也可以证明：过原点的两条直线（向量）所构成的一个平行四边形的面积为A、B两点坐标所构成的二阶行列式的绝对值。三维情形已知三个向量由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为三阶行列式的绝对值（如图）行列式几何含义的应用举例例3（1）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为：(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积，并绘图。（2）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0

7、,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积，并绘图。解：(1)如图所示，三角形ABC的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半。其中：程序E03解：(2)如图所示，凸九边形面积是由9-2=7个三角形面积组成。在MATLAB命令窗口运行程序E03.m，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：向量运算的几何含义向量的数乘设u=(1,2,3)T,那么2u=(2,4,6)T,如图所示,可知2u

8、与u共线，它们的长度是2倍关系。向量的线性表示举例例4已知向量，请用向量u和v来线性表示向量w，并用MATLAB绘制出线性表示情况。解：求解方程组，解得：运行程序E04.m，可以得到图形：二维向量组的线性相关性的几何意义例5.设平面上的向量向量w1.5u2v，则可求得wk1uk2v三维向量组线性相关性的几何含义例6分析向量组的线性相关性，并用MATLAB绘制其图形。解：设A=(u,v,w)，计算A的行列式

9、A

10、，可以判断其线性相关性