线性代数概念引入之 三课件.ppt

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1、在发明中学习线性代数概念引入之三:行列式李尚志中国科学技术大学一.二元一次方程组的几何意义行列式的定义方程组可写成向量形式即1.有唯一解的条件不共线即2.消元:方程(1.1)两边与(1.1)作内积消去y,得其中就是同理得图2因此,于是3.二阶行列式—平行四边形面积称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图23.代数算法利用几何图形表达出来,就是:以上算法用到二阶行列式的如下基本性质(1)det(a,b)可以看成向量a,b的乘积来展开:det(ka+k1a1,b)=

2、kdet(a,b)+k1det(a1,b)det(a,kb+k1b1)=kdet(a,b)+k1det(a,b1)如图,就是(3)面积单位:det(e1,e2)=1由(2)det(a,a)=0邻边重合,平行四边形退化为线段,面积为0.det(e2,e1)=-det(e1,e2)=-1det(a,b)=-det(b,a)知det(u,v)=det(u,v+au)可写成其中二.三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义两边同时与方程作内积消去y,z,得到类似地可以得到y,z的表达式。当时得从原点O出发作有向线

3、段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积数学聊斋之三人挤成与照片之维数变化三十多年前到重庆，公共汽车很挤。有人形容为：人挤成照片了。三维的人挤成二维的照片，体积变成0。行列式两列(行)相等，也挤成照片。3.三阶行列式的基本性质(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分别是三条坐标轴上的单位向量.)可以看作的乘积来展开.(1)det((2)如果三个向量中有两个相等,则det()=0.挤成“照片”将三个向量中的任意

4、两个互换位置,则det()变为原来值的相反数。4.利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项可以从(2.1)中去掉。只剩下i,j,k两两不相等的项。(2.1)变成当i,j,k中有两个相等时，代入(2.2),得又类似地有(2.2)我们有类似地有三.n阶行列式的引入其中n阶行列式它应具有以下基本性质：(1)是的某种乘积，可以按乘法法则展开。(2)如果n个向量中有两个相等,则=0。将n个向量中的任意两个互换顺序，则变为。(3)det(e1,e2,…,en)=1，其中n维列向量ei的第i分量为1、其余分量为0。是

5、由决定的“n维体积”利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当i1,i2,…,in中有两个相等时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in两两不相等的项,(3.1)中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和,成为:将排列中任意两个数相互交换位置,称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为s次)可以将排列变成标准排列(12…n),相应地将变成(3.2)以下只须对每个排列求可以证明,的值由排列唯一决定,我们将记为sgn。则

6、sgn代入(3.3)得到(3.3)于是得这可以作为n阶行列式的定义。(3.4)四.n阶行列式的定义1.排列的奇偶性由1,2,…,n按任意顺序重新排列而成的有序数组称为一个n元排列。将1,2,…,n按从小到大的顺序得到的排列(12…n)称为自然排列。在任意一个排列中,可能出现顺序“颠倒”的情况：pjq,也就是较大的数jp反而排在较小的数jq的前面。每出现一对这样的(jp,jq)称为这个排列的一个逆序。排列中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称

7、为奇排列。例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3个,因此t(3142)=3,(3142)是奇排列。自然排列(12…n)的逆序数为0,因此自然排列是偶排列。将排列中的某两个数码jp,jq互相交换位置,称为这个排列的一个对换。每一次对换必然改变排列的奇偶性。每一个排列都可以经过有限次对换变成自然排列(12…n)。设排列经过了s次对换变成自然排列。则当s为偶数时，的奇偶性与自然排列相同,是偶排列;当s是奇数时，的奇偶性与自然排列相反,是奇排列。将n个数aij(i,j=1,2,…,n

8、)排成n行n列的形式,按如下方式计算：2.n阶行列式的定义得到一个数，称为n阶行列式。上面的式子中的求和号表示对所有的排列求和。五.n元线性方程组可以写成将(5.1)两边与(5.1)点乘,可以消去除外的所有未知数,在0时得(Crammer法则)六.行列式与秩几何观点:线性无关秩为n生成的空间的维数=nn维体积不为0代数运算:detA不为0A=0只有零解,x1A1+…+xnAn=0只有零解.A1,A