广义积分概念引入的几何背景分析

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1、广义积分概念引入的几何背景分析宋榕荣[摘要]我们在研究定积分时都有直观的几何意义，定积分的被积函数的区间为有限区间，函数为该区间上的有界函数。当我们去掉这两个限制时，就得到广义积分，我们就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景。[关键字]定积分广义积分几何背景一、广义积分与定积分之间的区别和联系（1）形式上：定积分的区间是有限区间，即上下限都是有限实数，且定积分的被积函数是有界函数，而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界。（2）内容上：定积分的被积函数是有界连续函数。无穷区间[）的广义积分，若存在，则广义积分收敛，否则发散。类似的有在定义在（]上

2、的广义积分的收敛发散性。同时还有定义在（）上的广义积分的收敛性。二、无穷区间上的广义积分的几何背景无穷区间上的广义积分也就是被积函数的定义域无上限或无下限，这类的广义积分在形式上可分为三种，我们用三个例子来加以说明：例1求曲线f(x)=的下方、=1的右方、轴上方的平面区域面积。O1x=a分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封闭的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=1的右侧做一条垂直于x轴的直线x=a(a>1),则曲线f(x)=、=1、=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部分所示

3、），其面积用定积分表示为。要求其面积的不封闭区域可想象成右边界在无穷远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界x=a沿x轴正方向无穷远处平移得到，故其面积可从形式上类比到，而其实质为（对应于阴影部分曲边梯形的右边界x=a向右平移至无穷远处）。故所求面积为=。解：设曲线f(x)=的下方、=1的右方、轴上方的平面区域的面积为A，则A====()=(1)=1所以曲线f(x)=的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域的面积为1。例2求曲线f(x)=的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积。0-1x=a分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封

4、闭的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=-1的左侧做一条垂直于x轴的直线x=a(a<-1),则曲线f(x)=、=-1、=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部分所示），其面积用定积分表示为。要求其面积的不封闭区域可想象成左边界在无穷远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界x=a沿x轴负方向无穷远处平移得到，故其面积可从形式上类比到，而其实质为（对应于阴影部分曲边梯形的右边界x=a向左平移至无穷远处）。故所求面积为=。解：设曲线f(x)=的下方、x=-1的左方、x轴上方的平

5、面区域的面积为A，A===()=(1)=1则曲线f(x)=的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积为1例3求曲线f(x)=下方、x轴上方的平面区域的面积。y=az=b0x=c分析：所求区域的面积如图所示。由于区域不是闭合区域，故无法用定积分直接表示其面积。任作一条垂直于x轴的直线x=c，则区域被分成左、右两个部分。根据例1、例2的方法，分别在x=c左、右作垂直于x轴的直线x=a与x=b，则两部分的面积可分别表示为、=。而所求面积的区域可看成上下边界为曲线与x轴左右边界分别在左右无穷远处的曲边梯形，故其面积可形式上记为。从而所求面积为=+=+。解：设

6、曲线f(x)=下方、x轴上方的平面区域的面积为C，则C======()++()==则曲线f(x)=下方、x轴上方的平面区域的面积为。三、无界函数的广义积分的几何背景若无界函数f(x)在(a,b]上有意义，在a点附近无界。根据无界函数广义积分的概念，对任意的>0，函数f(x)在[a+,b]上可积，当趋向于0时，函数的广义积分为=。由此可联想到广义积分的几何问题。如下图为无界函数f(x)的图像，f(x)在(a,b]上有意义，在a附近无界，曲线f(x)下方、x轴上方y=b右边的区域的面积为A。x=bba0分析：我们将x=0向左平移(a<

7、积分的问题。由f(x)，x=,x=b以及x轴围成的图形的面积A为，当a趋向于0时，所求面积为S=。例1求曲线下方、直线右方、轴上方、轴左方的区域的面积。YOX-1x=a分析：所求面积区域如图所示。由于为函数的无穷间断点，故所给区域不闭合。但平面区域是闭合的（即平面上的任一点在区域的内部、外部或边界上是明确的）。由于区域不闭合，不能用定积分之直接表示其面积。在直线与之间做一条垂直于轴的直线(-1<<0),得一曲边梯形（如阴影部分所示），其面积课表示为。需求面积的不封闭区域可看成由阴影部分所示的曲边梯形的右边界从左侧向直线无限平移得到。故不封闭区域的面积可形式

8、上记为，其实质为或，即=。解：设所求曲线下方、直线右方、轴上方、轴