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1、第十一章广义积分主讲人：陈志勇副教授7/21/20211宁波大学教师教育学院二、无界函数的广义积分§1常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分广义积分广义积分的概念与计算7/21/20212宁波大学教师教育学院一、无穷限的广义积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为7/21/20213宁波大学教师教育学院定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若则定义7/21/20214宁波大学教师教育学院则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广
2、义积分也称为第一类广义积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该广义积分发散.7/21/20215宁波大学教师教育学院引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:7/21/20216宁波大学教师教育学院例1.计算广义积分解:思考:分析:原积分发散!注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.7/21/20217宁波大学教师教育学院例2.证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,广义积分收敛,其值为当p≤1时,广义积分发散.7/21/20218宁波大学教师教育学院例3.计算广义积分解:7/21/20219
3、宁波大学教师教育学院二、无界函数的广义积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为7/21/202110宁波大学教师教育学院定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的广义积分（也叫瑕积分）,则定义则称此极限为函记作7/21/202111宁波大学教师教育学院若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义
4、7/21/202112宁波大学教师教育学院注意:若瑕点计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?7/21/202113宁波大学教师教育学院下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.计算广义积分解:显然瑕点为a,所以原式例5.讨论广义积分的收敛性.解:所以广义积分发散.7/21/202114宁波大学教师教育学院例6.证明广义积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.7/21/202115宁波大学教师教育学院例7.解：求的无穷间断点,故I为广义积分.7/21/202
5、116宁波大学教师教育学院内容小结1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的广义积分7/21/202117宁波大学教师教育学院说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.7/21/202118宁波大学教师教育学院(3)有时需考虑主值意义下的广义积分.义积分收敛.注意:主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广思考与练习其定义为7/21/202119宁波大学教师教育学院解练习17/21/202120宁波大学教师教育学院当为k何值时，广义积分求其最大值.当k为何值时，这广义积
6、分发散？又当k为何值时，这广义积分取得最小值？收敛？提示：练习27/21/202121宁波大学教师教育学院备用题试证,并求其值.解:令7/21/202122宁波大学教师教育学院7/21/202123宁波大学教师教育学院作业P.2771（2）（3）（4）P.2891（2）（3）7/21/202124宁波大学教师教育学院
