§2广义积分的收敛判别法

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1、二、无界函数广义积分的收敛判别法广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分一、无穷限广义积分的收敛判别法§2广义积分的收敛判别法9/21/20211宁波大学教师教育学院一、无穷限广义积分的收敛判别法定理1.若函数证:根据极限收敛准则知存在,9/21/20212宁波大学教师教育学院（Cauchy收敛原理）定理2.证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及极限存在的Cauchy准则即得。9/21/20213宁波大学教师教育学院柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），十九世纪前半世

2、纪的法国数学家。1789年8月21日生于巴黎。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几

3、部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。9/21/20214宁波大学教师教育学院定理3.(比较原理)且对充,则证:不失一般性,因此单调递增有上界函数,9/21/20215宁波大学教师教育学院说明:已知得下列比较判别法.极限存在,9/21/20216宁波大学教师教育学院定理4.(比较判别法1)9/21/20217宁波大学教师教育学院例1.判别广义积分解:的收敛性.由比较判别法1可知原积

4、分收敛.思考题:讨论广义积分的收敛性.提示:当x≥1时,利用可知原积分发散.9/21/20218宁波大学教师教育学院定理5.(极限判别法1)则有:1)当2)当证:1)根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足9/21/20219宁波大学教师教育学院2)当可取必有即注意:此极限的大小刻画了9/21/202110宁波大学教师教育学院例2.判别广义积分的收敛性.解:根据极限判别法1,该积分收敛.例3.判别广义积分的收敛性.解:根据极限判别法1,该积分发散.9/21/202111宁波大学教师教育学院

5、定理6.证：则而9/21/202112宁波大学教师教育学院定义.设广义积分则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断广义积分的收敛性.解:根据比较判别法知，故由定理6知所给积分收敛(绝对收敛).9/21/202113宁波大学教师教育学院无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分.二、无界函数广义积分的收敛判别法由定义例如因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数的广义积分中来.9/21/202114宁波大学教师教育学院定理7.(比较判别法2)定理3瑕点,有有利用类似定理4与定理5，有如下的收敛

6、判别法.使对一切充分接近a的x(x>a).9/21/202115宁波大学教师教育学院定理8.(极限判别法2)则有:1)当2)当例5.判别广义积分解:利用洛必达法则得根据极限判别法2,所给积分发散.9/21/202116宁波大学教师教育学院例6.判定椭圆积分定理4敛性.解:由于的收根据极限判别法2,椭圆积分收敛.9/21/202117宁波大学教师教育学院类似定理6,有下列结论:例7.判别广义积分的收敛性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较判别法2,所给积分绝对收敛.则广义积分9/21/20211

7、8宁波大学教师教育学院三、函数1.定义下面证明这个特殊函数在内收敛.令9/21/202119宁波大学教师教育学院综上所述,9/21/202120宁波大学教师教育学院2.性质(1)递推公式证:(分部积分)注意到:9/21/202121宁波大学教师教育学院(2)证:(3)余元公式:(证明略)9/21/202122宁波大学教师教育学院(4)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,9/21/202123宁波大学教师教育学院四、*A-D判别法定理9(1)(Abel判别法)(2)(Diri

8、chlet判别法)9/21/202124宁波大学教师教育学院阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势...。他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。”数学