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1、第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式本章重点和应掌握的内容•构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数,掌握步骤,以及插值函数的基本性质.•基于弹性力学最小位能原理,建立有限元求解方程的基本步骤,其中包括单元刚度矩阵和载荷向量的形式,以及它们的各自特性.•有限元方程求解前引入位移(强制)边界条件的必要性和方法.•有限单元法作为一种数值方法的收敛准则.•有限单元法求解弹性力学问题的一般原理和基本步骤,以及在求解其他弹性力学问题(轴对称问题)中的推广应用.第2章关键概念广义坐标位移模式位移插值函数单元刚度矩阵及刚度系数单元刚度矩阵的对称性和奇异性单元结点载荷列阵结构刚度
2、矩阵的集成有限元解的收敛性位移元的完备性和协调性位移元解的下限性第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式§§2.12.1有限元分析的主要步骤有限元分析的主要步骤((位移元位移元))§2.2平面问题的常应变单元（此处重点介绍三结点三角形单元）§2.3总体方程的集成§2.4已知位移条件的引入§2.5有限元法的收敛性§2.6矩形单元及三维单元§2.7广义坐标有限元的一般格式§§2.12.1有限元分析有限元分析的主要步骤的主要步骤((位移元位移元))第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式§§2.12.1有限元分析的主要步骤有限元分析的主要步骤((位移元位移元))注
3、：对单元来说，以结点位移为基本未知量的单元称为：位移单元。第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式一、连续介质离散化1.切割：二维——线(直线、折线、曲线)三维——面(平面、折面、曲面)第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式边界有限元网格切割线(面)连续域离散域第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式每一小块：单元（element）结点：场变量在该点的值为未知量。结点位移：位移元的基本未知量。第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式2.单元1）形状规则、简单(便于分析、试函数可以重复使用)2）尺寸一定、(有限)大小决定了计算结果的精度.3）
4、界面为相邻单元共有，界面上共有结点.第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式3.结点1)结点坐标2)结点两种编号•整体编号•单元内编号3)结点位移为位移元的基本未知量。第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式4.网格¾1)合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。¾2)合理的过渡(协调)*保证界面连续，*单元形态的合理性。第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式二、选择单元的近似位移模式二、选择单元的近似位移模式单元内的位移场用单元结点位移表示
5、，单元内的位移场用单元结点位移表示，一般采用多项式形式表达。一般采用多项式形式表达。形函数、多项式的阶次……第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式三、用单元结点位移表示单元内的三、用单元结点位移表示单元内的应力场应力场--应变场应变场位移场位移场几何关系几何关系应变应变((结点位移结点位移))本构关系本构关系应力应力第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式四、利用变分原理(弱解形式)(加权余量法)形成有限元求解方程组单元方程集成总体方程(首先建立单元方程)形成线性代数方程组问题的本质就是采用一个弱解形式。第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式五、
6、引入位移强制边界条件(消除系数矩阵的奇异性)六、解线性代数方程组得到结点位移解七、计算应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变八、其它要求(进行其他工程上的要求计算)第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式§§2.22.2平面问题的常应变单元平面问题的常应变单元第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式§§2.22.2平面问题的常应变单元平面问题的常应变单元（此处重点介绍三结点三角形单元）三角形单元单元结点编号：1，2，3，整体结点编号：1，2，3，…，i,j,…m,n,…,编号顺序：逆时针方向，对应于右手坐标系，次序不能任意。第2章弹性力学问题有限单元法的一
7、般原理和表达格式*结点位移*单元结点位移⎧⎫ai⎧ui⎫e⎪⎪Tai=⎨⎬aa==⎨⎬ji{}uviujvjumvmv⎩⎭i⎪⎪a⎩⎭m第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式一、单元位移模式及插值函数(3结点三角形单元)1.线形位移模式：一次多项式第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式⎧ux=+βββ+y123位移模式⎨(1)⎩vx=+βββ+y456上式为关于坐标x,y的多项式,β,ββ,...,...,待定系数,称之为广义坐标.126第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式2.求解广
