七不可（或接近不可）压缩弹性力学问题地有限单元法.pdf

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1、专题讨论：不可（或接近不可）压缩弹性力学问题的有限单元法•材料呈现不可（或接近不可）压缩的性质，例如：橡胶、塑料等，非弹性变形的金属（塑性、蠕变）等•材料的不可压缩性常常给分析带来麻烦，需要研究采用特殊的方法。弹性力学问题有限元法的一般格式，求解方程：Ka=F~~~eTK=∑K=∑∫BDBdv~~~~~eeVeeTK=∑K=∑∫BDBdv~~~~~eeVe式中D弹性刚度矩阵。~对于三维问题、轴对称问题、平面应变问题，D都包含着因子：~E(1−ν)D=0(1+ν)(1−2ν)如果材料是不可（或接近不可）压缩的，则：ν→0.5，导致D→∞，亦即K→∞。0~有限元分析无法进行。E(1

2、−ν)注：D=0(1+ν)(1−2ν)克服的办法：一.不可（或接近不可）压缩弹性力学问题的罚函数方法1TTTΠ=εDεdv−fudv−Tudsp∫2~~~∫~~∫~~VVSσ1应变能σε2偏斜应变能1应变能σε2体积应变能应力和应变均可分为各自的两部分Tσ+σ+σm1.应力，已知：p=−xyz=−~σ33~Tp是平均压应力，m=[111000]~T2.应变，已知：ε=ε+ε+ε=mεvxyz~~εv是体积应变p和εv之间存在下述弹性关系pTp=−kε=−kmεε=−v~~vkE其中k是体积模量。k=3(1−2ν)TTmmmm偏斜应力：σ=σ+mp=σ−~~σ=(I−~~)σ~d

3、~~~3~~~3TTmmmmm偏斜应变：ε=ε−~ε=ε−~~ε=(I−~~)ε~d~3v~3~~~3σ和ε之间存在如下关系dd~~Tmm2Tσ=GCε=GC(I−)ε=G(C−mm)εd0d0~03~~~~~~~~3~EG为剪切模量G=2(1+ν)⎡2⎤其中：⎢⎥20⎢⎥⎢2⎥C0=⎢⎥～1⎢⎥⎢01⎥⎢⎥⎣1⎦利用以上各式，可得弹性应变能：2TTσ=G(C−mm)εp=−kεv=−kmεd03~~~~~~~1T1T2T1TTε(σ−mp)=εG(C−mm)ε+εkmmε2~~d~2~03~~~2~~~~~1T应变能εσ偏斜应变能体积应变能2~~所以原泛函：1TTTΠ(u)=

4、εDεdv−fudv−Tudsp~∫2~~~∫~~∫~~VVSσ应变能可表示为：1T2T1TTTTΠ(u)=[εG(C−mm)ε+εkmmε]dv−fudv−Tudsp~∫2~03~~~2~~~~∫~~∫~~~VVSσ应变能对上式进行有限元离散，并取驻值，可得：(K+kK)a=Ka=F12~~~~~~T2T其中K1=G∑∫B~(C0−mm)B~dV~eV~3~~eTTK2=∑∫BmmBdV~~~~~eVe显然(K+kK)a=Ka=F12~~~~~~kK2~近似kE/3(1−2ν)2(1+ν)⎯⎯→⎯==GE/2(1+ν)3(1−2ν)K1~k当ν→0.5时，→∞G可见Π(u)中

5、积分的第二项起罚函数的作用。p~并且要求K必须奇异。这样才能保证当ν→0.5时，2~方程有非零解。要求K2奇异，需讨论矩阵的秩。~K≤Mnd2g22~K其中M是系统的单元数，n是计算2的Gauss积分点数，g2~TTd是K中被积函数BmmB中的独立行列数，22~~~~~T从mm可见d=1。~~2要求K2奇异，就是~Mn

6、（列）数。11B(C0−mm)B~~~3~~~对三维问题d＝5，1对轴对称问题d＝3，1对平面应变问题d＝2，1不可（或接近不可）压缩弹性力学问题一般网格情况的单元形式和积分方案：•对K只给予必要的刚体运动约束，~•对于K奇异性，则应给网格加以更多的约束，2~通常采用一种简单的方法估算K的奇异性。2~如下图，在已有的二维网格基础上增加一个单元。(a)6/1(b)4/1(c)8/4(d)9/4r=4r=2r=1.5r=2已有结点新增结点K的积分点r=nu/ng22~对于二维单元，(每结点2个自由度)如图，K2的奇异指数r=n/n~ug2其中n是新增自由度数，ung2是新增Gaus

7、s积分点数。r>1是奇异性的必要条件。但为了使方程度解保持良好的精度，理想的单元和积分方案应使r=2~3。一般建议采用(a)、(b)和(d)，而避免采用(c)。另一方面，为保证K的非奇异性，建议在计算K1时，~~•对于(a)中的6结点单元采用3或4点的Hammer积分；•对于(b)中的4结点单元采用2×2点的Gauss积分；•对于(d)中的9结点单元采用3×3点的Gauss积分。KK若1或2分别采用不同阶的积分方案称为选择积分方案。~~注意：•利用罚函数原理只能分析接近不可压缩的弹性力学问题