有限变形计算中的体积不可压缩问题

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1、第!"卷第#期应用力学学报$%&’!"(%’##))#年*月!"#$%&%’()*$+,(-+..,#%/0%!"+$#!&+,-’#))#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号：!)))./"0（"#))#）)#.))1!.)/有限变形计算中的体积不可压缩问题"!!!#周吉吉李明瑞黄文彬杨青春（中国农业大学北京!)))10）!（机械工业部北京机电研究所北京!)))10）#摘要：在金属材料塑性成形的数值模拟中，由于变形通常很大，有限变形理论被广泛采用。但由于有限变形下，塑性本构理论的

2、研究相对欠缺，还未建立起较为公认的理论。塑性体积不可压缩是公认的结果，但在有限变形下如何描述体积不可压缩则必须为人们所关注。本文重点讨论了这一问题，认为必须完全抛弃以!223)作为体积不可压缩条件，否则不仅将会给计算带来很大误差，而且还会导致计算不收敛。关键词：有限变形；塑性本构；体积不可压缩中图分类号：40//文献标识码：5弹性变形非常有限，而塑性变形体积不可压缩，所!引言以，体积应该是基本不变的，但在众多的计算中往往会产生很大的体积改变，这显然是不合理的，其原因有限变形理论经过两百多年的发展，已建立起在于：在小变形理论中，体积变化率了较为完整的理论体系，并且已经在生产实际中

3、获!!6!)!33（!7""）（!7"#）（!7"$）6!得了应用，在一般的工程实际中，真正的有限变形仅!)发生在应力集中的微小区域内，而大部分区域内最#""7"#7"$（!）多仅是大位移、大转动，而真正的应变并不大，所以$%上述公式成立是基于两个条件：!）""3、"#3一般情况下，用有限变形理论计算的结果与小变形$"的计算结果差别并不明显，所以沿用小变形下的成$&、"3$’，#）"、"、"远小于!，这两个条件同时$"#$$#$$果并不会引起明显的问题，但是在压力加工中，由于成立时，才有!#""7"#7"$的结论，而在有限变形大范围的区域内变形都非常大，所以沿用小变形下中，常用

4、的89::-应变和5&;<-=2应变都不具有上述的成果就会带来不可忽视的问题，特别是在有限变特征，所以三个线应变之和不等于体积变化率，即形的弹塑性分析中，一般认为金属材料塑性体积不""7"#7"$3)（#）可压缩，那么，在有限变形条件下，什么是体积不可不再是体积不可压缩条件，而体积不可压缩条件应压缩条件？本文将就由体积不可压缩引出的问题进表述为：行讨论。$"!$"!$"!$*!$*#$*0#体积不可压缩的表述$")$"#$"#$"#(3>>33!（0）$*+$*!$*#$*0金属材料的弹性变形会引起体积改变，而塑性$"0$"0$"0变形是体积不可压缩的，在金属材料的压力加工中，

5、$*!$*#$*0"基金项目：国家自然科学基金资助项目（?"1@?)#1）来稿日期：#))!.)?.0)修回日期：#))!.!).)1第一作者简介：周吉吉，女，!"*#年生，副教授，中国农业大学（东区）应用力学研究室；研究方向：弹塑性有限变形和金属塑性成形A;"应用力学学报第!<卷式中：（!!，!"，!#）为现时坐标，（"!，""，"#）为初可压缩条件，将（2）式代入#!!/#((/#)).1可以始坐标，如仍用（"）式作为体积不可压缩条件，当变得到：形较大时，则可能会出现较严重的问题，轻则所加工&!&"**"/（）/"/（）.1（3）的构件在数值模拟过程中体积发生较大的变化，重

6、+"+,,则无法得到收敛解，上述问题已在实际中出现。&和*的取值区间应分别为：4+5&5/6，4,在任何一本关于有限元法的专著中，都可以找5*5/6，对于给定位移&，由（3）式可得：［!］到关于材料非线性和几何非线性的算法，但是却*&!&".!44（）4!（7）,"+"+很少有塑性有限变形计算的方法，而它绝不是材料由（7）式很容易得到，*有实数解的条件是：非线性和几何非线性算法的简单组合，即使有也没有处理好体积不可压缩问题，仅是小变形塑性理论4"#4!#&8+#"#4!［"］的推广，由于有限变形塑性理论并未建立，目前的结合&的取值区间可得：在4!#&8+#"#4!范［#］塑性计

7、算一般仍沿用小变形的塑性理论，而在小围内，可求得问题的解，超出此范围问题则无解。也变形的塑性理论中，由塑性流动法则直接可以得出就是说，即使对于单向拉压这么简单的问题，用（"）式，即（"）式是隐含在塑性流动法中的一个内部$%&&’应变求解时，如果用#!!/#((/#)).1作为约束，在小变形时它代表体积不可压缩，而在有限变体积不可压缩条件，在拉伸量（&9+）达到1:7#"时，形时则不代表体积不可压缩，虽然在有限变形时，体问题将无解，做数值计算时表现为无法收敛，这显然积不可压缩条件明显应是（#）