弹性力学问题有限单元的一般原理.ppt

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1、第2章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数的步骤,以及插值函数的基本性质.本章要点通过弹性力学平面问题和三角形单元阐述基于弹性力学最小位能原理,建立有限元求解方程的步骤.有限元方程求解前引入位移边界条件的必要性和方法.有限元方法的收敛准则.有限元方法求解弹性力学问题的一般原理和步骤.第2章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式单元位移模式及插值函数平面问题3结点三角形单元的有限元格式典型3结点三角形单元结点编码为i,j,m(逆时针方向为正)每个结点的位移(2个)每个单元的结点位移(6个)3结点三角形单元位移模式选取一次多项式单元的位

2、移模式及插值函数平面问题3结点三角形单元的有限元格式是待定系数,称为广义坐标,可以用单元的6个结点位移表示结点i(xi,yi)的x方向位移ui同理平面问题3结点三角形单元的有限元格式求广义坐标线性代数方程系数行列式A是三角形单元的面积平面问题3结点三角形单元的有限元格式其中下标可以轮换平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点i(xi,yi)的y方向位移vi结点位移表示的位移函数其中称为单元的插值函数或形函数,是x,y的一次函数.平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点位移表示的位移函数N称为插值函数矩阵或形函数矩阵平面问题3结点三角形单元的有限元格式形函数性质结点上形函数的值单

3、元中任一点各形函数之和等于1x方向有刚体位移u0,则若形函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用这形函数求解就得不到正确结果．3结点三角形单元的形函数是线性的，在单元内部及边界上的位移可由结点位移唯一确定．相邻单元公共边界上位移连续．平面问题3结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵单元位移单元应变B称为应变矩阵，L是平面问题的微分算子．应力和应变几何方程物理方程平面问题3结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵应变矩阵B的分块子矩阵平面问题3结点三角形单元的有限元格式应变矩阵和应力矩阵单元应力其中S称为应力矩阵，其分块矩阵为平面应力平面应变平面问题3结点三角形单

4、元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程最小位能原理的泛函总位能对离散模型，系统位能是各单元位能的和．结构结点位移平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程其中n为结构的结点数平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程离散形式的总位能单元刚度矩阵单元等效结点荷载列阵整体刚度矩阵结构结点荷载列阵平面问题3结点三角形单元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程离散形式的总位能p的未知变量是结构的结点位移a，泛函p取驻值的条件为有限元求解方程即平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征3结点三角形单元的应变矩阵是常量

5、阵单元刚度分块矩阵对称性平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征对称性利用最小位能原理建立单元的平衡方程单元刚度矩阵元素的物理意义平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵元素的物理意义单元结点平衡方程令第一列元素的物理意义:当a1=1时，其他结点位移为零，需要在单元各结点位移方向上施加结点力的大小．平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征单元刚度矩阵元素的物理意义单元在结点力作用下处于平衡状态元素Kij的物理意义:当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需要在单元第i结点方向上施加的结点力的大小．x方向y方向平面问题

6、3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征奇异性单元刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵．任意刚体位移物理解释：单元平衡时，结点力相互不独立，必须满足三个平衡方程．单元的平衡方程平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元刚度矩阵特征主元恒元分块矩阵Krs当r=s=i,j,m时，主元K1和K4恒正．物理解释：要使结点位移ai=1,施加在ai方向的结点力必须与位移ai同向．平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载列阵结构结点荷载列阵均质等厚单元的自重例1yxoiPiyPixPmymPmxjPjyPjx平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载结点的等

7、效结点荷载等效结点荷载列阵平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元等效结点荷载列阵均布侧压q，作用在ij边例2yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqL单元边界上的面积力平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载单元边界上取局部坐标s，沿ij边插值函数为yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLs结点的等效结点荷载同理平面问题3结点三角形单元的有限元格式单元等效结点荷载yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLs结点的等效结点荷载