考研数学]北京航天航空大学线性代数.ppt

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1、第四节实二次型通过正交变换化为标准形对于二次型,我们可以通过满秩线性变换化为标准形或规范形.但其中满秩线性变换x=Cy在几何上一般不能保证任意两点间的距离不变,这样在简单的情形下可能会改变曲面、曲线的形状,为此本节引入更特殊的满秩线性变换----正交变换.一预备知识与正交变换空间解析几何中,向量的内积在此定义下,两个向量的模、夹角都可用内积表示.在n维向量空间中,作以下推广：定义设={a1,a2,…,an},={b1,b2,…,bn}是Rn中任意n维实向量(1)两个向量的内积(2)向量的长度(模)(3)两个向

2、量的夹角若

3、

4、=1,称为单位向量,这时若称与正交(垂直).显然零向量与任何向量正交,两非零向量正交当且仅当夹角为/2.目的：找出在n维向量空间中,什么样的满秩线性变换才能保持长度.即空间中任意两点间的距离不变.设{a1,a2,…,an},{b1,b2,…,bn}Rn,对应两个向量={a1,a2,…,an},={b1,b2,…,bn}其距离在n元实二次型化简中,设两点{x1,x2,…,xn},{x1,x2,…,xn}Rn经满秩线性变换x=Cy,变换到{y1,y2,…,yn},{y1,y2

5、,…,yn}Rn希望在变换过程中距离不变,即亦即需成立.由若要(1)成立,将(2)代入(1)左端若要等于(1)右端,必须CC=E.因此要求C必须是正交矩阵.当C为正交矩阵时,x=Cy称为正交变换.解析几何中的坐标旋转公式问题：是否任何一个实二次型都能找到一个正交变换,使其化为只含新变量的平方项的标准形.按照矩阵的观点,对任意实对称矩阵A,能否找到正交矩阵Q,使对正交矩阵,Q=Q-1,即QAQ既是合同变换,又是相似变换.问题转化为:能否找到一个正交矩阵Q,使已知结论:实对称矩阵的特征值都是实数.实对称矩阵

6、的每一特征值的代数重数与几何重数相等.实对称矩阵总能通过相似变换化为对角形.新问题:实对称矩阵化为对角形时的相似变换能否改造成正交变换？三用正交变换化实二次型为标准形定义n维向量空间Rn中一组非零向量,如果它们两两正交,称之为正交向量组.如果正交向量组中的每个向量都是单位向量,称为标准正交向量组.注根据定义,正交矩阵中的行向量与列向量组是标准正交向量组.彼此两两正交的向量组线性无关.以下考查如何将相似变换中的线性无关的向量组正交化.1.当n阶实对称矩阵A的特征值是特征方程的单根.由实对称矩阵的每一特征值的代数重数

7、与几何重数相等及属于不同特征值的特征向量正交,将其单位化就可得到标准正交向量组.若i(i=1,2,…,n)是A的特征值,xi(i=1,2,…,n)是i的特征向量,则是正交向量组,取qi仍是属于i的特征向量,令则2.当

8、EA

9、=0有重根时.(属于同一特征值的若干个线性无关的特征向量不一定是正交向量组)利用施密特(Schmidt)正交化方法,可以将它们改造为标准正交向量组,且仍是A的特征向量.设t个线性无关的列向量x1,x2,…,xt,通过下面的方法可以得到一组标准正交向量q1,q2,…,qt,使qi是x1

10、,x2,…,xt的线性组合.第一步正交化,求正交向量组.令p1=x1,构造p2使p2是p1,x2的线性组合且与p1正交.设x2=p2+k1p1,则p2=x2k1p1,k1待定.由p2与p1正交,p1p2=p1(x2k1p1)=p1x2k1p1p1=0x1k1p1x2p2得于是求p3,使p3与p1,p2正交,且p3是p1,p2,x3的线性组合.设x3=p3+k1p1+k2p2,则p3=x3k1p1k2p2x3k2p2k1p1p3由p3与p1,p2正交p1p3=p1x3k1p1p1k1p1

11、p2=0p2p3=p2x3k1p2p1k2p2p2=0得代入得一直做下去,若前t1个向量已正交化为p1,p2,…,pt-1,作pt使pt与p1,p2,…,pt-1正交,且pt可以表示为p1,p2,…,pt-1,xt的线性组合.pt=xtk1p1k2p2…kt-1pt-1可得代入可得pt.p1,p2,…,pt即为所求的正交向量组.第二步单位化,求标准正交向量组.令则q1,q2,…,qt即为所求的标准正交向量组.例1已知x1=(2,0,1),x2=(0,1,1),x3=(1,1,0),用

12、施密特方法求一组标准正交向量.解先正交化,取p1=x1=(2,0,1),再单位化,得利用施密特正交化方法求出的标准正交向量组q1,q2,…,qt仍是A的特征值特征向量.而定理4.3与定理4.2说明n阶实对称矩阵恰有n个标准正交的向量组,以这n个向量作列向量作一正交矩阵Q,使得定理4.4任意一个n阶实对称矩阵A,必存在一个正交矩阵Q,使其中1,2,,n是A的全部