考研数学]北京航天航空大学线性代数1

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1、第六章二次型平面解析几何中的以原点为中心的二次有心曲线方程可通过坐标旋转变换消去2bxy，化为从此标准型可以识别曲线的类型,从而研究曲线的性质.空间解析几何中将二次曲面方程化为标准形也是一个重要的问题.从代数学的观点看,化标准形就是通过变量的线性变化化简一个二次多项式,使它只含平方项.定义含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式称为一个n元二次型,简称二次型.第一节化二次型为标准形第二节二次型的规范形第三节正定二次型第四节实二次型通过正交变换化为标准形第五节典型例题第一节化二次型为标准形一二次型的矩阵表示记为称为二次型的矩

2、阵表示,建立了对称矩阵与二次型之间的一一对应关系.当aij为实数时,f称为的实二次型，当aij为复数时，f称为复二次型.=xAxA是对称矩阵.例如二次型讨论的主要问题:在新旧变量之间,寻找适当的线性变换使二次型只含新变量的平方项,即将上式代入后这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准形.线性变换的矩阵表示或x=Cy.当矩阵C=(cij)mn满秩时,称为满秩线性变换.当C为实矩阵时,称为实线性变换,当C为复矩阵时,称为复线性变换.本章讨论的是满秩线性变换.从x=Cy可以得到,只有

3、C

4、0时,新旧变量之间的关系是唯一确定的.二次

5、型经过满秩变换后还是二次型.=xAx=(Cy)A(Cy)=y(CAC)y=yBy即B=CAC.定义设A,B为n阶方阵,若有n阶可逆矩阵C,使得B=CAC则称A与B合同,记为A∽B.合同关系的性质(1)自反性(2)对称性(3)传递性说明矩阵之间的合同关系是等价关系.(4)合同变换是保秩变换.(5)合同变换保持对称性.对矩阵A用满秩矩阵C做运算CAC,称为对A进行合同变换.对称矩阵A的秩称为A所对应的二次型f=xAx的秩.二用配方法化二次型为标准形对于任意n元二次型f=xAx是否可以用满秩变换x=Cy化为而这二次型

6、对应于对角矩阵.上述问题就变为任意一个对称矩阵是否合同于一个对角形矩阵？如果可以,变换x=Cy中的矩阵C如何找出.抛物线的图形与y=ax2相同.配方可以得到.以下通过例子说明n元二次型配方的一般方法.例1用配方法将二次型化为标准形.解(1)三个平方项都存在,可任意选定一个变量配方(将含有x的项配成完全平方)(2)在剩余项中再选定一个含有平方项的变量进行配方配方完毕.取新变量即或化为标准形所用变换x=Cy中这时例2用配方法化二次型为标准形,并写出所用的满秩线性变换.解不含平方项,因此先作变换代入后按例1方法配方.其中或经过两次满秩变

7、换化为标准形,变换依次为x=C1y,y=C2z其中于是x=C1y=(C1C2)z容易验证配方法化二次型为标准形的一般过程(1)观察所给的二次型是否含有平方项,若不含平方项,先作一次满秩变换,使其出现平方项.(2)对含有平方项的二次型依次配方(例1).定理1.1任意一个n元二次型xAx总可以通过满秩线性变换x=Cy化为只含有平方项之和的标准形:定理1.2任意一个n阶对称矩阵A总存在满秩矩阵C,使CAC为对角形.即任意一个对称矩阵都与一个对角形矩阵合同.例3化下列二次型为标准形,并求所用的满秩线性变换.解令…………原二次型化为所用

8、满秩变换为x=Cy,显然三用矩阵的初等变换化二次型为标准形对任意对称矩阵A,存在满秩矩阵P,使得由于C是满秩矩阵,则它可分解成一系列初等矩阵的乘积,令C=P1P2…Ps,其中Pi(i=1,2,…,s)为初等矩阵.于是CAC=(P1P2…Ps)A(P1P2…Ps)=Ps…P2P1AP1P2…Ps=Ps…(P2(P1AP1)P2)…PsP(i,j)AP(i,j)相当于把A的第i,j行互换,接着把所得矩阵的第i,j列互换.P(i(k))AP(i(k))相当于把A的第i行乘以k,接着把所得矩阵的第i列乘以k.P(i(k

9、),j)AP(i(k),j)相当于把A的第j行的k倍加到第i行,然后将所得矩阵的第i列的k倍加到第j列.以上说明对初等矩阵Pi,PiAPi表示对A进行成对的对称初等变换,经过若干次变换,A化为对角形矩阵.而C=P1P2…Ps=EP1P2…Ps说明对单位矩阵E进行若干次与A相同的列变换便可得到变换矩阵C.将A的对角化过程与求变换矩阵C的过程同时进行,可表示为对A作对称的初等行列变换对E只作列变换其中且D=CAC,只要作变换x=Cy,例4将二次型化为标准形,并求出所用的初等变换.解1/214D1C12DC与例2一致.于是经过

10、变换x=Cy,即变换为