[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-3.ppt

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1、第三节行列式按行(列)展开定义在n阶行列式D中，划掉元素aij所在的第i行和第j列后留下的n1阶行列式称为元素aij的余子式。记作Mij.称为aij的代数余子式.例如定理３.1n阶行列式D=

2、aij

3、n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即证定理3.2n阶行列式D中某一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即或证明我们只证第一个式子。等号左端的表达式可视为一个行列式按第i行的展开式，该行列式的特点是：第i行的元素就是D中第k行的元素，而且它的第i行与D的第i行对应的元素有相同的代数余子式。于是知该行列式为ik由于B中第i行与第

4、k行相同，则B＝0，故同理可证证毕把定理3.1及定理3.2结合起来,便得到了两个重要公式：设n阶行列式D，则例1计算行列式解例2计算行列式D=

5、aij

6、n，其中aij=

7、ij

8、.解：写出此行列式观察其特征=(1)n+1(n1)2n-2.例3计算n阶行列式解按第1列展开而所以练习：计算行列式的展开定理3.1可以进一步推广。为此我们将元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。定义在n阶行列式D中选取k行、k列(1kn)，由这些行、列相交处的元素所构成的k阶行列式，称为D的k阶子式。记作N。在行列式D中去掉k阶子式N所在行、列以后得到的nk阶行列式称为该k阶子式的余子式。记作M。

9、若N所在的行序数为i1,i2,···,ik，所在的列序数为j1,j2,···,jk，那么称做N的代数余子式。定理3.3[拉普拉斯(Laplace)定理]设在n阶行列式D中任意选取k个行（列）(1kn-1)，找出位于这k行（列）中的一切k阶子式N1,N2,···,Nt及其对应的代数余子式A1,A2,···,At，则有其中例4计算五阶行列式解利用定理3.3，把行列式D按前二行展开，前二行共有C52=10个二阶子式，但其中不为0的只有三个与N1,N2,N3对应的代数余子式分别为所以例5计算2n阶行列式解法1按第一行展开有以此作递推公式，即可得解法2利用定理3.3，按第n,n+1行这两行

10、展开行列式，立即可得例6计算n阶行列式例7计算2n阶行列式例3证明证明对阶数n用数学归纳法