[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-3

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1、第三节线性方程组解的结构上节课定理2.1给出了非齐次线性方程组有解时,解的个数与方程组系数矩阵与增广矩阵的秩的关系.并且给出了方程组的解法.本节主要讨论方程组有无穷多解时,这些解之间的关系.一齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为写成缩写形式，即齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组Ax=0的两个解向量的和仍是解向量.设(k1,k2,…,kn)及(l1,l2,…,ln)是齐次方程组Ax=0的两个解向量，则有说明(k1+l1,k2+l2,…,kn+ln)是Ax=0的解向量.性质1证齐次线性方程组Ax=0的一个解向量乘以常数k仍为解向量.设(l1,l2,…,ln)为齐次方程组(2)的解

2、向量，那么故(kl1,kl2,…,kln)为齐次方程组Ax=0的解向量.注：解向量的任意线性组合仍为解向量.性质2证齐次线性方程组Ax=0解向量的维数为n,当它有无穷多解时,解向量的个数大于n,因此所有解向量构成的向量组线性相关,这样解向量组就必存在最大线性无关组,使得每一解向量可由这个最大线性无关组线性表出.设α1,α2,…,αk是齐次线性方程组(2)的一组解向量，并且1.α1,α2,…,αk是线性无关的；2.方程组(2)的任意一个解向量均可由α1,α2,…,αk线性表出.则称α1,α2,…,αk是齐次方程组(2)的一个基础解系.基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性无关组.而一

3、个向量组的最大线性无关组不唯一,同一向量组的不同最大线性无关组所含向量个数相同,这样齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数是唯一确定的.定义齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩R(A)=r

4、解向量：下面说明α1,α2,…,αn-r就是方程组(2)的一个基础解系.首先它可以看成是在n-r个n-r维基本单位向量：(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)中的每个向量上添加r个分量而得到的，所以线性无关.其次,设α={k1,k2,…,kn}是方程组的任意一个解向量,再将解的表达式写成上向量形式，得：即方程组任意解均可由α1,α2,…,αn-r线性表出.推论设齐次方程组(2)的系数矩阵的秩为r，则任意的n-r个线性无关的解向量都是它的基础解系.设β1,β2,…,βn-r是齐次方程组(2)的任意n-r个线性无关的解向量，α是任意一个解向量.因为R(A)=r<

5、n，则由定理3.1知方程组有基础解系α1,α2,…,αn-r.于是β1,β2,…,βn-r可由α1,α2,…,αn-r线性表出且证注利用此推论证明一组向量是否是基础解系时，只要证明它们是线性无关的，并且它们的个数是n–R(A)个即可。R{β1,β2,…,βn-r}=R{α1,α2,…,αn-r}由p136第18题,说明两向量组等价,因此α可由β1,β2,…,βn-r线性表出,由定义β1,β2,…,βn-r是方程组的基础解系.例1求线性方程组的基础解系,并写出解的结构.解(-1)(-1)(-1/2)于是原方程组的解为3(-1)其中x2,x4为自由未知量.写成向量形式,即得方程组的一个

6、基础解系：解的结构为其中k1,k2为任意常数.例2若齐次方程组(2)的解均为齐次方程组(3)的解，试证:R(A)R(B).其中A,B分别为两个方程组的系数矩阵.设方程组(2)的基础解系为α1,α2,…,αn-R(A)；方程组(3)的基础解系为β1,β2,…,βn-R(B).由条件知α1,α2,…,αn-R(A)为方程(3)的解，故它们可由β1,β2,…,βn-R(B)线性表出，即根据第二章第五节定理5.1即得证二非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的记法齐次方程组称(2)为非齐次方程组对应(1)的齐次方程组，或为方程组(1)的导出方程组.(1)(2)非齐次线性方程组的解的性质

7、非齐次方程组(1)的任意两个解向量的差是对应齐次方程组(2)的解向量.设γ1,γ2是非齐次方程组Ax=b的解向量，则证性质1故γ1–γ2是(2)的解向量.于是A(γ1–γ2)=Aγ1–Aγ2=0.非齐次方程组(1)的任意一个解向量与对应齐次方程组(2)的任意一个解向量的和仍为非齐次方程组(1)的解向量。设γ为非齐次方程组Ax=b的解，α为对应齐次方程组Ax=0的解，即于是故γ+α是非齐次方程组(1)的解向量.证性质2Aγ=b,Aα=0.A(γ+α)=Aγ+Aα=b+0