[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-2

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1、§2n阶行列式的定义与性质一n阶行列式的定义定义它代表一个数值。此数值是取自上式中不同行不同列的个元素乘积的代数和，其中是数字的某一个排列，故共有项。每项前的符号按下列规定：当为偶排列时取正号，当为奇排列时取负号，即有简单记法：Dn=

2、aij

3、n.例1计算n阶行列式分析这行列式除主对角线（即从左上角到右下角诸元素所构成的对角线）上的元素为外，其余元素全为0。因而此行列式中有可能不为0的项仅有，且行序排列及列序排列都是标准排列。故例2计算n阶行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解此行列式称为上三角行列式.例3计算例4计算注意：（1）在行列式定义

4、中规定n个元素相乘时，元素的行序数按标准排列，由列序排列的奇偶性决定各项的正负号，可改为将元素的列序按标准排列，由行序排列的奇偶性决定每项的正负号。即（2）行列式中项的符号为例如a21a32a14a43性质1行列式与它的转置行列式相等。行列式称为行列式的转置行列式.记二n阶行列式的性质证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕性质2如果用同一个数k乘行列式中一行（列）的各元素，等于用k乘这个行列式，即说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。证明根据行列式的定义左端=右端证毕另一种理解：行列式中某一行（列）的所有元素的公因

5、子可以提到行列式符号外.性质3如果行列式中一行（列）的所有元素全为零，则行列式为零。性质4如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号,即证明根据行列式的定义及定理1.1左端=右端证毕性质5行列式若有两行（两列）相同，行列式为0。即证明设n阶行列式D的第i行与第k行相同，于是将第i行与第k行互换,行列式不变;但由性质4个知，它们又应当反号即有D=-D，即2个D=0个，故D=0.。性质6如果行列式中两行（两列）的对应元素成比例，那么行列式为0．证明性质7如果行列式中第i行的各元素都可以写成两项之和，即aij=bij+cij,j=1,2,···n证明由

6、行列式定义得出左端=右端证毕性质8如果把行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，那么这行列式的值不变，即当i不等于j时,有证明利用性质7，可将左端拆成两个行列式的和，再利用性质6便可得到右端即。左端＝右端说明利用行列式的性质可简化行列式的计算，基本思路是根据性质把行列式化成为上三角形行列式，它等于变换后的行列式的主对角元素的乘积。例5计算行列式解×2×（－3）×（－2)×2×2=====－312例6计算特征：各行（列）4个元素之和为11.（若不考虑顺序，各行（列）元素相同）例7试证证明在D中从第4行开始，后行减前行，即自下而

7、上的依次从每一行中减去它上面的一行。左端×（－1)×（－1)×（－1)×（－1)×（－1)×（－1)＝右端解将第都加到第一列得练习：计算n阶行列式定义：在行列式D=

8、aij

9、n中，若aij=aji(i,j=1,2,…n),称为对称行列式.若aij=aji(i,j=1,2,…n),称为反对称行列式.例8证明奇数阶反对称行列式等于零.作业：3，4（1，2），5，6（1，3，6）.例5证明证明