[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-1.ppt

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1、§2.1矩阵及其秩一、矩阵的概念二、矩阵的秩一矩阵的概念如表:其记录的是某公司各项物品的库存量(单位:吨)：#1#2#3#4#51月份20101472142月份25321166413月份1243113500品名库存量月份表中库存量的数也可写成如下数表:注意：上数表中的位置是不能互换的,每个位置具有不同的内涵.由个数排成的行列的数表定义实际应用：记录线性方程组未知数的系数.简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.这mn个数称为矩阵的元素.注意：行列式表示一个数值(nn个元素)，矩阵表示一个数表(mn个元素).例如是

2、一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.如果A,B都是m×n矩阵或同是n阶方阵,就说A与B是同型的;如果m=n,则称A为n阶矩阵或n阶方阵.几种特殊形状的矩阵:(1)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).称为列矩阵(或列向量).(2)只有一列的矩阵:（3）形如的方阵,不全为0若全为1若全为k则称这样的矩阵为对角矩阵;这样的矩阵称为n阶单位矩阵,记为En.这样的矩阵称为数量矩阵,为数字;所有的元素都是零的矩阵称为零矩阵.二矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中的一个十分重要的概念,它描述了矩阵的特征(以后说明),在以后讨论线性方程

3、组,二次型等问题中起重要的作用.例如，在3×4阶矩阵定义1在矩阵Amn中，任取k行,k列(kmin(m,n)),这些行列交叉处的元素按原来的顺序组成一个k阶行列式.称为矩阵Amn的k阶子式.取第一,三行与第二,四两列,就得到A的一个二阶子式:矩阵Amn中k阶子式共有Cmk·Cnk个.定义2:在m×n矩阵A中,不为零的子式的最高阶数,称为矩阵A的秩,记为R(A).2.规定零矩阵的秩为零(零矩阵的各阶子式全为零).注意3.若A为n阶方阵,当R(A)=n时,称A为满秩矩阵,否则称A为降秩矩阵.例1求矩阵的秩.解左上角的二阶子式A还有四个三

4、阶子式经计算它们的值全部为零.根据定义知:R(A)=2.定理m×n阶矩阵A的秩为r的充分必要条件是A中至少有一个r阶子式不等于零,而所有的r+1阶的子式都等于零.证必要性().根据定义显然成立;充分性().只需说明A的k阶子式(k>r)全为零即可.若A的所有r+1阶子式都为零,由行列式的展开定理,A的所有r+2阶子式均可由r+2个r+1阶子式表出,从而A的所有r+2阶子式都为零,因此A的所有高于r阶的子式都为零,又因为A中至少又一个r阶的子式不为零，由矩阵秩的定义.必有R(A)=r.解:A的左上角的三阶子式不为零.显然A的所有四阶子式全

5、为零,故由以上定理可知R(A)=3.定理实际上给出了一个求矩阵秩的方法：从低阶到高阶依次寻找不为零的子式,如果找到一个r阶子式不等于零,而所有的r+1子式都等于零,则矩阵的秩就为r.例2求下矩阵A的秩.练习解定义设n阶方阵:称与此n阶方阵Ａ相对应的n阶行列式:为方阵A的行列式,记为

6、A

7、或detA.由矩阵秩的定义显然可以得知:n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是

8、A

9、0.并且当

10、A

11、0时,方阵A为满秩矩阵,当

12、A

13、=0时,方阵A为降秩矩阵.