[考研数学]北京航天航空大学线性代数 3-4.ppt

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1、第四节向量组的秩内容简介1.向量组的秩2.最大线性无关组的定义3.有关矩阵秩的定理和线性相关的定理向量组α1,α2,…,αm中若有r个向量线性无关，而任意r＋1个向量均线性相关，则称此向量组的秩为r，记为定义矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.定理4.1若一个向量组的秩为r,那么这向量组中的r个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?证明利用上节推论4及秩的定义即可.定义如果向量组α1,α2,…,αm中的部分向量组(1)向量组(2)向量组α1,α2,…,αm中任何一个向量可由线性无关的向量组的最大线性无关组是其本

2、身.满足条件:线性无关.线性表出.则称为向量组α1,α2,…,αm的最大线性无关组(极大线性无关组).例1求向量组α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1),α4=(1,1,1),α5=(1,1,0)的最大线性无关组.因α1,α2,α3显然线性无关，而α1,α2,α3,α4,α5均可由α1,α2,α3线性表出.所以α1,α2,α3构成向量组α1,α2,α3,α4,α5的最大线性无关组.解可以验证α1,α2,α4与α1,α3,α4都是向量组的最大线性无关组.因此对于向量组而言,最大线性无关组不是唯一的.一个向量组只

3、要含有非零向量，那么向量组的最大线性无关组一定存在.问题：同一个向量组的不同的最大线性无关组所含向量的个数是否相同.向量组的最大线性无关组中所含向量的个数同其秩有何关系?定理4.2如果向量组α1,α2,…,αm中的每一个向量均可由向量组β1,β2,…,βr线性表出，并且m>r，那么向量组α1,α2,…,αm线性相关.设证由已知条件得作矩阵C,显然R(C)=R(B1)，又若设A=(aij)mn，则R(A)≤R(C).于是R(B1)≤r

4、,αm中的每一个向量均可由β1,β2,…,βr线性表出，并且α1,α2,…,αm线性无关，那么m≤r.证此推论为定理4.2的逆否命题.证设向量组α1,α2,…,αm的两个最大线性无关组分别为：推论2同一向量组的最大线性无关组所含向量的个数相同.由为最大线性无关组,故可由其线性表出,又线性无关,由推论1得r1≤r2.同理r2≤r1.因此r1=r2.例1设向量组α1,α2,…,αm中的秩为r,证明向量组α1,α2,…,αm中任意r个线性无关的向量均为此向量组的一个最大线性无关组.证设αi1,αi2,…,αir是向量组α1,α2,…,αm中

5、任意r个线性无关的向量,由定义只需证明对任意αi,αi1,αi2,…,αir,αi线性相关.(反证法)若αi1,αi2,…,αir,αi线性无关,则向量组α1,α2,…,αm的秩≥r+1,与题设矛盾.故αi1,αi2,…,αir,αi线性相关.因此αi可由αi1,αi2,…,αir线性表出,即αi1,αi2,…,αir是向量组α1,α2,…,αm的一个最大线性无关组.本例提供了证明某向量组的一个部分线性无关组为其最大线性无关组的稍为简单的途径.例2设α1=(0,0,-1,1),α2=(1,1,-1,0),α3=(-1,-1,0,0),

6、α4=(1,1,-1,0),α5=(0,0,1,-1).向量组的最大线性无关组所含向量的个数就是该向量组的秩.注(1)求向量组α1,α2,α3,α4及向量组α3,α4,α5的秩.(2)求向量组α1,α2,α3,α4的一个最大线性无关组.解(1)由定理4.1知向量组行秩和列秩相等.(-1)(-1)显然，R(B)=3,故同理(-1)1故(2)由(1)得R(α1,α2,α3,α4)=3,故由例1的结论知中任意三个线性无关的向量均为它的一个最大线性无关组.显然α1,α2,α3及α1,α3,α4线性无关，故它们都是所求的最大线性无关组.求最大无

7、关组并用其表示其余向量的方法利用136页20题结论:对矩阵Amn作行(或列)的初等变换不改变矩阵列(或行)向量组的线性关系(线性相关性).含义：对列向量而言,设矩阵A=(α1,α2,…,αn)经有限次行初等变换得到矩阵B=(β1,β2,…,βn),则A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性.即(1)当且仅当B中k个列向量线性无关时,A中对应的k个列向量线性无关.(2)当且仅当B中某个列向量βs能够由某些列向量线性表出时,即A中对应列向量αs可由对应的列向量线性表出,并且例-2-1-1-1/2-1-21/2-1判断:

8、α1,α2,α3或α1,α2,α4或α1,α3(α4),α5是最大线性无关组.若取最大无关组α1,α2,α3,则有α4=α1+3α2–α3，α5=3/2α1–1/2α2.