[考研数学]北京航天航空大学线性代数 3-3.ppt

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1、第三节向量组线性相关性的进一步讨论引言n阶方阵A的秩R(A)=n⇔

2、A

3、≠0.这时称矩阵A是满秩矩阵.如果把此矩阵A看作是由n个列向量构成的,这n个向量是线性无关的.上节讨论向量组的线性相关性时,我们知道当

4、A

5、=0时,向量组线性相关.此时矩阵的秩

6、中至少有一个是其余m–1个行向量的线性组合.不妨设αm是α1,α2,…,αm-1的线性组合，即用–k1,–k2,…,–km-1分别乘以A的第一行，第二行,…,第m-1行，然后都加到第m行上去，得到新矩阵B，即于是R(B)

7、2,…,kr+1，使得当R(A)≥1时写成分量形式，即方程组：或即要证明上述方程组有非零解:k1,k2,…,kr+1.考虑r+1阶行列式：显然，当t≤r时，因Dt中有两列相同，所以Dt=0，当t>r时(假如存在),则Dt是A的r+1阶子式，由R(A)=r知Dt=0.这就是说，对于t=1,2,…,n，总有Dt=0,于是将Dt最后一列展开得其中A1,A2,…,Ar,D分别是a1t,a2t,…,ar+1t的在Dt中的代数余子式，它们均与t无关.又因为D≠0,这样，就找到了齐次方程组的一组不全为零的解：所以α1,α2,…,αr+1线性相关，从而α1,α2,…,αm线性相关。推论1mn矩阵A

8、的m个行向量线性无关的充分必要条件是R(A)=m.证推论1为定理3.1的逆否命题.定理对列的结论同样成立:mn矩阵A的n个列向量线性相关⇔R(A)

9、A

10、≠0.推论4mn矩阵A的秩R(A)=r的充分必要条件是A中存在r个行(列)

11、向量线性无关,而任意r＋1个行(列)向量线性相关.R(A)=r⇔A中至少有一个r阶子式D不为零，而所有r＋1阶子式均为零.于是D所在的r个行(列)所组成的矩阵的秩为r，由推论1得到这r个行(列)向量是线性无关的.由任意的r＋1阶子式所在的r＋1个行(列)所组成的矩阵的秩小于r＋1，由定理3.1得任意r＋1个行(列)向量线性相关.证明