复模态分析超临界轴向运动梁横向非线性振动.pdf

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1、第１３卷第４期２０１５年８月动力学与控制学报Ｖｏｌ．１３Ｎｏ．４１６７２６５５３／２０１５／１３⑷／２８３５ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬＡｕｇ．２０１５复模态分析超临界轴向运动梁横向非线性振动１１１，２张国策丁虎陈立群（１．上海大学，上海市应用数学和力学研究所，上海２０００７２）（２．上海大学力学系，上海２００４４４）摘要近似解析研究了简支边界条件下超临界轴向运动梁横向非线性自由振动的固有频率和模态函数．采用复模态方法处理控制方程，一个积分偏微分方程．将Ｇａｌｅｒｋｉｎ截断思想用于近似处理线性化方程，一个

2、含空间依赖系数的常微分方程．给出了不同截断项数对固有频率的影响．基于８项截断，讨论了系统参数对模态函数的影响．关键词轴向运动梁，非线性，超临界速度，模态，频率ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２６５５３２０１５０３０于积分偏微分模型，采用复模态方法分离变量，将引言Ｇａｌｅｒｋｉｎ截断思想用于计算简支边界条件下超临动力传送带、带锯、空中缆车索道、高楼升降机界轴向运动梁横向自由振动的近似固有频率及相缆绳、单索架空索道等工程元件，均可模型化为轴应的模态函数，并研究轴向速度、非线性系数和弯［１，２，３］向运动梁或弦线．其横向振动的研究有着重曲刚

3、度对模态函数的影响．要的理论意义和应用价值．关于轴向运动系统固有１近似解析结果频率和模态函数的研究已经非常广泛．Ｍｏｔｅ于１９６５年运用Ｇａｌｅｒｋｉｎ截断法近似计算了两端简支考虑一个均匀黏弹性矩形梁，密度为ρ，横截［４］边界下，前三阶固有频率及相应的模态．１９９２面积为Ａ，弹性模量为Ｅ，惯性矩为Ｉ，初始张力为年，Ｗｉｃｋｅｒｔ研究了两端简支边界下，轴向运动梁横Ｐ０．该梁在支承两端间距为Ｌ的长度上以一致的轴［５］向非线性振动的基频．２００１年，?ｚ给出了两端固向传输速度Г运动．不考虑轴向位移，梁在平面内定边界下轴向运动梁横向振动的前两阶固

4、有频率只有横向位移为Ｖ（Ｘ，Ｔ）的弯曲振动．这里Ｔ为时［６］和模态函数．２００６年，李晓军和陈立群研究了一间，Ｘ为轴向坐标．在准静态应力假设下，超临界轴［７］［５，１１－１４］端固定、一端简支的情形．２００９年，李彪等通过向运动梁积分偏微分模型的无量纲方程为２２２半解析半数值方法求解了两端铰支的非对称混杂ｖ，ｔｔ＋２γｖ，ｘｔ＋πｋｆｖ，ｘｘ＋ｋｆｖ，ｘｘｘｘ＋１边界下轴向运动Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的固有频率和模２２４态［８］．２０１０年，Ｃｈｅｎ等给出了简支边界下Ｔｉｍｏｓｈｋ１ＡＳπｓｉｎ（πｘ）∫［ｖｓｉｎ（πｘ）］ｄｘ＝０［９］

5、１１ｅｎｋｏ梁模型固有频率的复模态分析方法．２０１０２２２ｋ１２ｋ１ＡＳπ２年，Ｇｈａｙｅｓｈ和Ｂａｌａｒ通过半解析半数值方法研究２ｖ，ｘｘ∫ｖ，ｘｄｘ－２ｓｉｎ（πｘ）∫ｖ，ｘｄｘ＋００了固定边界下轴向运动Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁横向振动的１２２固有频率［１０］．ｋ１ＡＳπｖ，ｘｘ∫［ｖｓｉｎ（πｘ）］ｄｘ（１）０在超临界传输速度范围内，陈立群课题组数值简支边界条件为［１１，１２］研究了轴向运动梁的横向静平衡位形、固有ｖ（０，ｔ）＝ｖ，ｘｘ（０，ｔ）＝ｖ（１，ｔ）＝ｖ，ｘｘ（１，ｔ）＝０（２）［１３，１４］［１５］频率和简谐受迫振动的稳态

6、响应．本文基式中，无量纲参数为２０１３１１２４收到第１稿，２０１５０５０８收到修改稿．国家自然科学基金资助项目（１１２３２００９，１１３７２１７１和１１４２２２１４），上海市教育委员会科研创新项目（１２ＹＺ０２８）和上海市青年科技启明星计划（１１ＱＡ１４０２３００）通讯作者Ｅｍａｉｌ：ｄｉｎｇｈｕ３＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ２８４动力学与控制学报２０１５年第１３卷ＴＰ０ρＡＥＩＥＡ数和轴向速度有关，而与非线性系数无关．因此，对ｔ＝，γ＝Γ，ｋｆ＝２，ｋ１＝，Ｌ槡ρＡ槡Ｐ０槡Ｐ０Ｌ槡Ｐ０于超临界速度范围内轴向运动梁的微幅振动，非线

7、Ｘ２２２２Ｖ性系数对固有频率没有影响．这一结论与参考文献ｘ＝Ｌ，ＡＳ＝槡γ－１－πｋｆ，ｖ＝Ｌ－ＡＳｓｉｎ（πｘ）πｋ１［１３，１４］一致．对于已求得的系统任意阶固有频（３）率，即可求出相应的模态函数．在微幅振动时，忽略式（１）中的高阶非线性项取８项截断（Ｎ＝８）为例，考虑轴向速度γ＝４．０，可得刚度系数ｋｆ＝０．８，非线性系数ｋ１＝１００，则可由式２２２ｖ，ｔｔ＋２γｖ，ｘｔ＋πｋｆｖ，ｘｘ＋ｋｆｖ，ｘｘｘｘ＋（１１）求得前两阶固有频率分别为ω１＝９．９１８１，ω２１２２４＝２９．９２７２．从而可知前两阶模态函数实部和虚部ｋ１ＡＳπｓｉ

8、ｎ（πｘ）∫［ｖｓｉｎ（πｘ）］ｄｘ＝０（４）０分别为［５］方程（４）的解可以写作Ｒｅ［φ１（ｘ）］＝ｓｉｎ（πｘ）＋０．０２９１ｓｉｎ（３πｘ）＋ｉωｎｔ－ｉωｎｔｖ（ｘ，ｔ）＝φｎ（ｘ）