Timoshenko模型轴向运动梁的振动特性分析.doc

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1、Timoshenko模型轴向运动梁的振动特性分析唐有绮杨晓东沈阳航空工业学院辽宁沈阳110136摘要：本文通过对梁单元体的受力分析导出Timoshenko模型的轴向运动梁横向振动的运动方程，并利用复模态分析方法及半解析半数值方法，研究了两端铰支条件下，做轴向运动梁横向振动的振动模态及固有频率.本文还讨论了运动梁前两阶固有频率随轴向运动速度变化的情况，并分析了梁转动惯量及剪切变形等参数对固有频率的影响.最后利用数值算例对Timoshenko梁及Euler梁模型的结果做出了比较.关键字：轴向运动梁；横向振动

2、;转动惯量；剪切变形；固有频率轴向运动体系的振动问题在军事、航空航天以及机械、电子工程中制造生产等相关领域中有广泛的应用.比如在动力传送装置，各类材料的加工过程中都会涉及这类问题.振动现象可能会导致传输效率低下或产品生产质量低劣.对于轴向运动体系的研究，Euler梁模型是一种简化有效的计算模型.杨晓东[1,2]、陈立群、吴俊[3]等对轴向运动梁和弦线的问题做了一系列的研究.冯志华等[4]由Kane方程推导出轴向运动梁的非线性控制方程，利用摄动方法讨论了轴向运动梁内共振条件下的动力稳定性.陈树辉等[5]则

3、利用多元L-P方法分析了轴向运动梁横向振动的各类非线性现象.本文利用Timoshenko梁模型，结合复模态分析方法及半解析半数值方法来研究以常速运动的轴向运动梁的动力学特性.1控制方程取轴向运动梁上的微段，其受力及加速度分别如图1a和图1b所示.当忽略剪切变形时，微段为虚线所示，截面法线与梁轴线的切线重合，夹角为剪力引起的梁轴线的转角，k为与截面几何形状相关的常数，G为剪切弹性模量，r为密度，A为截面积，Y为梁轴线处的横向位移，y为弯矩产生的梁轴线的转角，T为时间坐标，M为力矩，N为拉力，Q为剪力，G为

4、轴向速度，J为转动惯量，E为弹性模量，L为梁的长度，为梁轴线在弯矩和剪力共同作用下的转角.为轴向加速度，为截向加速度，为向心加速度，为科氏加速度，轴向力为常数P，引用，.a)受力分析b)加速度分析图1梁单元力平衡分析设梁微元段因为变形而弯曲，与X轴的角度为q，设轴的弯曲变形为小变形，则也较小，所以有：，.根据达郎伯原理，得到其控制方程和边界条件（其中角标表示微分）：(1);(2)为了便于分析，我们把梁横向运动的控制方程及边界条件做无量纲化处理，引入：(3)k0和k1表征剪切模量的大小，k3表征转角的大小

5、，k4表征抗弯刚度的大小.控制方程(1)和两端铰支的边界条件(2)化为无量化的形式为：(4)(5)2复模态函数法在求解静止梁的偏微分方程中，分离变量法是一种有效的方法.受此启发，为了解决轴向运动梁横向振动控制方程中混和项的问题，可以设它的模态函数为复数形式，(4)式的解可以写做：(6)其中，wn，fn分别表示轴向运动梁的第n固有频率和模态函数.把形式解(6)式代入控制方程(4)及边界条件(5)式中，化简得到：(7)(8)(7)式是四阶常微分方程，它的解可以写做如下的形式：(9)把(9)式代入控制方程和边

6、界条件有：(10)(11)为了使原问题有非零解，则线性代数方程(11)的系数矩阵的行列式必须有零解，从而解出：(12)由(11)及(12)可以解出(9)式的系数为：(13)这样可以解得两端铰支的轴向运动梁的第n阶模态为：(14)3半解析半数值方法由式(10)及(12)可以用半解析半数值方法得轴向运动梁的第n阶的固有频率.图2给出了几种不同量纲化刚度时，前两阶固有频率随运动梁轴向运动速度的变化情况.a)第一阶固有频率b)第二阶固有频率图2不同抗弯刚度下固有频率随运动速度的变化在k4=1，v=3而其他参数一

7、定时,固有频率随剪切模量的变化如图3所示.从图中可以看出，固有频率随剪切弹性模量的增加而增加.由(4)式略去剪切模量及转角的影响，可以得到Euler梁的振动运动方程：.(15)由(4)式略去剪切模量的影响，得到Rayleigh梁的运动方程为：.(16)a)第一阶固有频率b)第二阶固有频率图3特定轴向速度时固有频率随剪切模量的变化在(4)式略去转角的影响，则可以得到剪切梁的运动方程为：(17)在其他参数一定的条件下，它们的前两阶固有频率随运动梁轴向运动速度的变化情况由图4给出，其中实线对应Timoshen

8、ko梁，短虚线对应剪切梁，点划线对应Rayleigh梁，长虚线对应Euler梁.a)第一阶固有频率b)第二阶固有频率图4不同梁模型固有频率的比较由图4可以看出，转动惯量和剪切变形的影响都使固有频率降低，而且固有频率的阶数越高影响越大.通过对图中曲线的对比可见，剪切变形的影响要比转动惯量的影响大.随着梁轴向运动速度的不断增大，梁的各阶固有频率随之一一消失，使第一阶固有频率消失的那个运动速度点,我们称之为临界速度.如果梁轴向运动的速度大于这个临