复模态分析基础

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1、复模态分析基础•1.引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动•2.引言2－对称阻尼矩阵•3.物理空间的复模态•4.状态空间的复模态•5.复模态叠加法董兴建上海交通大学振动，冲击，噪声研究所机械大楼A8321.引言1－粘性阻尼单自由度系统自由振动粘性阻尼单自由度系统自由振动方程mx++=cxkx0衰减系数nc2kz定义：2n=wn=相对阻尼系数mm特征根：xn++=20xxw2那么有：nsi=-zww1-z21,2nnn进一步令z=阻尼固有频率wnww=-1z2从而有xxx++=20zww2dnnn欠阻尼自由振动解：无阻尼自由振动解：-zwtxec=+n(cos

2、wwtcsin)txc=+coswwtcsint12dd12nn-zwt=-eAncos(wqt)=-Atcos(wqn)d12.引言2－对称阻尼矩阵实际机械系统中不可避免地存在着阻尼:材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等.阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼2.引言2－对称阻尼矩阵有阻尼的n自由度系统：xRÎnMCKPxxxt++=()假定已经得到无阻尼系

3、统下的模态矩阵Φ及谱矩阵Λ作坐标变换x=ΦhTTTTΦMΦΦhhh++=CΦΦKΦΦP()tMCKQhhh++=()tpppTC=ΦCΦ模态阻尼矩阵p虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非对角阵，因而主坐标h下的强迫振动方程仍然存在耦合。22.引言2－对称阻尼矩阵例如：三自由度系统2kx1x2x3kk2kmmmcém00ùé30kk-ùêúêúéc00ùM=ê00múK=-êkkk2-úêêúúêúêúC=000ê00múêúêúêëúûêë03-kkúûê000úêëúûéù111-é600mùé600kùêúêúêúΦ=-êú201ΦTMΦ=ê0

4、20múΦTKΦ=ê060kúêúêúêúêú111ê003múêêë0012kúúûêúëûêëúûéccc-ùêúC==ΦTCΦê--cccú非对角Pêúêúêccc-úëû2.引言2－对称阻尼矩阵若CP非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法écù(1)忽略CP矩阵中的全部非对角元素êp1úC=êú第i阶主振型的阻尼系数PêúcPiêúêëcpnúû第i阶振型阻尼或模态阻尼n自由度系统：MCKPxxxt++=()xRÎn做变换：x=ΦhmckQhhh

5、++=(),tin=1~PiPiPii令：cm/2=zwhz++=2(whw2h1Qt)PiPiiiiiiiiiiimPiz第i阶振型阻尼比或模态阻尼比i32.引言2－对称阻尼矩阵（2）将矩阵C假设为比例阻尼假定C有下列形式：CMK=+aba,b：为常数代入C=ΦTCΦ中pC=+=ΦT()abMKΦabMK+对角阵pppcpiampibkpi1a相对阻尼系数：(b)ii2m2m2ipiipii（3）由实验测定n阶振型阻尼系数i(i1~n)73.物理空间的复模态•一般粘性阻尼系统的响应•当阻尼矩阵C不允许忽略非对角元素，以上近似方法不成立•须用复模态

6、进行求解n自由度系统：MCKPxxxt++=()xRÎn对于特征值问题，设xe=flt得到：()MCKllf2++=0f有非零解的充要条件：MCKll2++=0一般粘性阻尼系统的特征方程2n个特征值：，，，实数或复数122n43.物理空间的复模态一般粘性阻尼系统的特征方程:MCKll2++=02n个特征值：，，，实数或复数122n相对应，2n个特征向量:ff,,,f()fÎRn´1122ni因为特征方程的系数都是实的所以特征值为复数时，必定以共轭形式成对出现相应地，特征向量也是共轭成对的复向量复模态或复振型复模态矩阵：Φ=éfffùêë112núû这

7、是一种具有相位关系的振型，不再具有原来主振型的意义当特征值为具有负实部的复数时，每一对这样的共轭特征值对应系统中具有特定的频率和衰减系数的自由衰减振动4.状态空间的复模态系统在物理空间中的坐标只有n个，而复模态却有2n个，所以不能用上述的复模态矩阵对前面的物理坐标下的振动方程进行解偶。为此，引入状态空间方程。MCKPxxxt++=()é0Mùé-M0ùA=êúB=êúêêëMCúúûê0Kúêëúû补充方程：MMxx-=0éxùéù0ABQyyt+=()y=êúQ()t=êú那么有：êxú