2012微积分讲义(未完待续).pdf

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1、2012最新微积分讲义【初稿（2012，4）】【内容简介】本讲义（上）内容包括数列（函数）的确界和极限（上，下极限），一元函数的连续，导数与积分，常微分方程理论以及Lebesgue测度与积分；通过有关内容的学习，能让学生进一步了解现代数学，并有利于后续课程如概率统计等的深入学习！第一章函数与极限§1微积分的发展简史及基本思想客观世界的万事万物，无一不在运动，发展和变化着，在这样的过程中都存在着一定的数量关系；数学就是研究现实中的数量关系与空间形式的科学，即研究数与形的科学。所谓数学，究其本质是研究各种可表述为数学概念的事物组成的集合，研究同一集合中

2、和不同集合间元素之间相应的数量关系（变换或运算）和相应的数学结构（代数结构，序结构，拓扑结构）。【注1】常称具有一定数学结构的集合为空间。17世纪以前，数学研究的“数”是常数或常量，这期间形成了初等代数与初等几何，统称为初等数学；这一阶段常称为初等数学阶段。1637年，法国的笛卡尔建立了解析几何，数学从此进入了高等数学阶段；在这一阶段值得一提的是英国的牛顿（Newton）和法国的莱布尼茨（Leibniz）分别从物理学和几何学的角度独立创立了“微积分学”。微积分是近代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展，而且对几乎所有的科学（自然，社会和人文

3、）都是强有力的工具；它诞生于17世纪，但是其思想却可追溯至2500年前。微积分的研究对象是函数（连续或基本连续），其研究函数变化的局部性质（微分学）和整体性质（积分学）；微积分的基本运算是极限运算；其基本方法是极限方法和局部线性化方法（俗称“以直代曲”）；它的基本内容是微分学和积分学以及级数理论；微积分的基本思想是极限思想。所谓“极限思想”即指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想－有时确定一个量，先确定的不是这个量的精确值1而是近似值，并且近似值不是一个而是一个近似值序列；然后通过考察这个序列的变化趋势，来确定这个量的精确值！历史上，积分学

4、的产生要早于微分学；积分学主要源于对以下问题的研究：求变速直线运动的质点的位移，曲边图形的面积等等；微分学主要源于求变速直线运动的质点的瞬时速率和曲线上过某点的切线斜率等问题。微分学和积分学是微积分的两个重要组成部分；“微”即“微小”，“积”即“累加”；前者讨论函数局部意义下的性质，后者则讨论函数整体意义下的性质！牛顿在其发表的著作“自然哲学的数学原理”中首次将其创立的微积分称之为“流数术”，现在已不再使用；而莱布尼茨创立的微积分学的符号则沿用至今！值得一提的是：微积分这座大厦是由上而下建立的，一开始它就形同空中楼阁；直到18世纪后，才由欧拉（Eu

5、ler），波尔查诺（Bolzano），柯西（Cauchy），魏尔斯特拉斯（Weierstrass），伯（贝）努利（Bernoulli），拉格朗日（Lagrange），戴德金（Dedekind）等人逐渐完善其理论基础！【引例】设yfx=()是定义于[ab,]上的一个函数，试求：1.该段曲线上过()x,(,fxxab()∈[])点处的切线斜率；0002.该段曲线与直线x==axb,以及x轴所围曲边梯形的面积。问题1之于微分学：一个自然想法即“以直代曲”：设想在点(x,fx())附近用直线00段近似该段曲线弧（曲线段），相应地用过该点的割线的斜率近似过该

6、点切线的斜率；直观上可以想象，随着曲线弧段越来越短，近似程度将越来越好；可是，直和曲终归是一对矛盾－只要曲线弧长不为零，直线永远代替不了曲线。究竟能否得到准确值，正是微分学的重要内容；这是涉及局部性质的问题。问题2之于积分学：曲边梯形是不规则的几何图形，再次运用“以直代曲”的思想，但不是在一个点的附近，而是整体地用一组直线段来代替这段曲线。考虑在[ab,]上插入n−1个分点x,,,xxL，使得12n−1axxx=<<<<<=Lxxb，过这些分点分别作垂直于x轴的直012nn−12线将原曲边梯形分割成n个小曲边梯形；以f()xxii<(,

7、=−=xx+1i1,2,,n)分别替代相应的小曲边梯形的面n积，从而可以得到原曲边梯形的近似面积∑f()xxii<；并且原i=1区间[ab,]分割得越细该近似值精确度就越高，最终通过一个极限过程过渡为精确值。这也正是积分学可以解决的问题！§2映射与函数映射是现代数学的一个基本概念，而函数是微积分的基本研究对象。【映射】设A,B是两个非空集合，若对于每个x∈A，按照某种确定的法则f，有惟一的yB(∈)与之对应，则称f为从A到B的一个映射，记作：f:AB→或f:,xyfxxAa=()∈；其中，y称为x在映射f下的像。称x为在y映射f下的原（逆）像；A称

8、为f的定义域（domain），记作：Df()=A；另记：f()Ay==∈{:,yf(xxA)}，称之为A在f下的像即f的值