李铁成微积分讲义22.pdf

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1、第2章极限论2012-2013年秋季学期第2周学习材料(2)1数数数列列列极极极限限限1.1数数数列列列极极极限限限概概概念念念1.2数数数列列列极极极限限限的的的性性性质质质命题1（唯一性）若{an}收敛，则其极限值是唯一的。证：设limn!+1an=A，又设limn!+1an=B.下证A=B.反证法。若A̸=B，不妨设A0)，由lima=A，故N∈N，当n>N时，有2n!+1n1+1B−A

2、an−A

3、<;2从而B−AA−N2时，有B−A

4、an−B

5、<;2从而B

6、−AanN"时，有A+BA+B0，使得

7、an

8、≤M;n=1;2;···:1证：设limn!+1an=A，则∀">0，∃N"∈N+，当n>N"时，

9、an−A

10、<";特别地，取"=1，∃N∈N+，当n>N时，

11、an−A

12、<1;故

13、an

14、=

15、an−A+A

16、≤

17、an−A

18、+

19、A

20、<1+

21、A

22、;n=N+1;N+2;···:取M=max{

23、a1

24、;

25、a2

26、;·

27、··;

28、aN

29、;1+

30、A

31、}，有

32、an

33、0，则∃N∈N+，当n>N时，an>0:(2).若A<0，则∃N∈N+，当n>N时，an<0:(3).若∃N∈N+，使得当n>N时，an≤0，则A≤0:(4).若∃N∈N+，使得当n>N时，an≥0，则A≥0:证：(1).对"=A(>0)，由limn!+1an=A，∃N∈N+，当n>N时，

34、an−A

35、N时，an>0:(3).反证法，假定A>0，则由结论(1)知，∃N∈N+，当n>N时，an

36、>0;但这与条件(3)矛盾。命题4（夹挤原理）设{an};{bn};{cn}满足an≤bn≤cn;n=N+1;N+2;···:若liman=limcn=A;n!+1n!+12则limbn=A:n!+1证：∀">0，由limn!+1an=A，∃N1∈N+，当n>N1时，A−"N2时，A−"N"时，A−"

37、bn−A

38、<";故limbn=A:n!+1例1求√√lim(n+3−n−1):n!+1解：∀n∈N+;√√440

39、−n−1=√√<√:n+3+n−1n由于limp4=0，所以由夹挤原理知n!+1n√√lim(n+3−n−1)=0:n!+1例2设a1;a2;···;am为正数，求证1lim(an+an+···+an)n=max{a;a;···;a}:12m12mn!+1解：不妨a1=max{a1;a2;···;am}，则nnn1n11a≤(a+a+···+a)n≤(ma)n=amn:112m111而limn!+1a1mn=a1，所以由夹挤原理知1lim(an+an+···+an)n=a:12m1n!+13命题5（四则运算）设limn!+1an=A;limn!+1bn=B，则(1

40、).lim(an+bn)=A+B:n!+1(2).lim(an−bn)=A−B:n!+1(3).lim(anbn)=AB:n!+1(4)若b̸=0，anAlim=:n!+1bnB证：只证(3)、(4).证(3).因为{an}收敛，所以{an}有界，即∃M>0，使得

41、an

42、≤M;n=1;2;···，于是

43、anbn−AB

44、=

45、(anbn−anB)+(anB−AB)

46、≤

47、(an

48、

49、bn−B

50、+

51、an−A

52、

53、B

54、≤M

55、bn−B

56、+

57、B

58、

59、an−A

60、:∀">0，由limn!+1an=A，∃N1∈N+，当n>N1时，"

61、an−A

62、<;2[

63、B

64、+1]由limn!+1bn=B，

65、∃N2∈N+，当n>N2时，"

66、bn−B

67、<:2M取N"=max{N1;N2}，当n>N"时，

68、anbn−AB

69、≤M

70、bn−B

71、+

72、B

73、

74、an−A

75、

76、B

77、"2M2[jBj+1]<"+"22=";所以lim(anbn)=AB:n!+1证(4).因an1=an;bnbn故由结论(3)，我们只需证明11lim=n!+1bnB即可。4不妨B>0.由{bn}收敛于B，则∃N1∈N+，当n>N1时，BB3B

78、bn−B

79、<;即

80、b−B

81、Bbnn≤2

82、b−B

83、;n=N+1;N+2;···:B2n11∀">0，再由limn!

84、+1bn=