李铁成微积分讲义21.pdf

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1、第2章极限论2012-2013年秋季学期第2周学习材料1数数数列列列极极极限限限1.1数数数列列列极极极限限限概概概念念念按确定的顺序排列的一列数a1;a2;a3;···;an;···称为数列，简记该数列为{an}，其中an称为数列的通项。现有数列{a}，其中a=2n+1.易知当n越来越大并趋于无穷时，a=2n+1越来越接近2.nnnnn问题：“n多大时，才能使an+1n=2与2之间的差小于0.1？”n解：我们的问题是找N，使得当n>N时，有

2、an−2

3、<0:1，即当n>N时，有

4、2n+1−2

5、<0:1，即2<0:1nn注意到

6、当n>2时，0:1n+122

7、an−2

8、=2−2=<2=0:1;nn0:1因此当n>2=20时，0:1

9、an−2

10、<0:1:若我们将问题中的数字改为更小的0.01，那么通过同样的方法，我们发现，当n>2=200时，0:01

11、an−2

12、<0:01;类似地，如果n>2=200时，0:001

13、an−2

14、<0:001;∀">0，如果n>2时，"

15、an−2

16、<":1定义1（数列的极限）设{an}是一个数列，A为一常数。如果∀">0，∃N"∈N，当n>N"时，有

17、an−A

18、<"则称n→+∞时，{an}的极限为A，记作limn!+1an=A

19、，简称{an}的收敛于A.（几何解释？）；特别地当A=0时，称n→+∞时，{an}是一个无穷小量；当{an}的不存在极限，即任何实数A都不是数列{an}的极限，则称{an}发散。定义2（无穷大量）设{an}是一个数列。如果∀M>0，∃NM∈N，当n>NM时，有

20、an

21、>M;则称n→+∞时，{an}是一个无穷大量，记作limn!+1an=∞:如何叙述A不是{an}的极限？{an}发散？{an}不是一个无穷小量；{an}不是一个无穷大量。例1证明n2−4lim=1:n!+1n2+1证明：⌈⌋n2−455−1=<

22、1n[]∀">0，取N=5+1，当n>N时，有"""n2−455−1=<<";（因为n>N>5）n2+1n2+1n""所以n2−4lim=1:n!+1n2+12例2设a>1，证明√limna=1:n!+1证明（一）：⌈⌋√√1na−1=na−10，取N=1+1，当n>N时，有"loga(1+")"√√1nn

23、a−1

24、=a−1=an−1N>1）"loga(1+")=";所以√limna=1:n!+1√√证明（二）：设na=1+h，即h=na−1.则h>0

25、，nnna=(1+h)n=C0+C1h+C2h2+···+Cnhn≥1+nh;nnnnnnnnn从而√a−1na−1=h≤:nn[]∀">0，取N=a1+1，当n>N时，有"""√a−1na−1=h≤<";（因为n>N>a1）nn""所以√limna=1:n!+1例3证明√limnn=1:n!+1√证明：令h=nn−1.则h≥0，nnn=(1+h)n=C0+C1h+C2h2+···+Cnhnnnnnnnnn≥n(n1)h2;当n≥2时,2n于是√2hn≤;当n≥2时.n−13⌈√⌋22

26、∀">0，取N=max2;2+1，当n>N时，有""2"√

27、nn−1

28、=hn√≤2（因为n>N≥2）n1"[]<"（因为n>N≥2+1，故n>2+1）;""2"2所以√limnn=1:n!+1例4设a>1，证明nlim=0:n!+1an证明：设h=a−1.则h>0，an=(1+h)n=C0+C1h+C2h2+···+Cnhnnnnn≥n(n1)h2;当n≥2时,2于是当n≥2时，n22≤=an(n−1)h2(n−1)(a−1)2⌈⌋220，取N=max2;

29、2+1，当n>N时，有""(a1)2"n−0=nanan≤2（因为n>N≥2）(n1)(a1)2"[]<"（因为n>N≥2+1，故n>2+1）;""(a1)2"(a1)2所以nlim=0:n!+1an4例5设a>1;k∈N，证明nklim=0:n!+1an√证明：因a>1;k∈N，故ka>1.由例4知nlim√n=0;n!+1(ka)√因此∀">0，（对k">0），∃N，当n>N时，有""n√√−0

30、liman=A;n!+1证明a1+a2+···+anlim=A:n!+1n证明：∀">0，由liman=A;n!+1∃N1∈N，当n>N1时，有"

31、an−A

32、<;2因此当n>N1时，a1+


+an−A=a1+


+annAnna1+a2+


+aN1N1AaN1+