《微积分》讲义

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1、《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A　　要点：⑴x为变量；⑵A为一常量。二、函数极限存在的充分必要条件：　　f＝Af＝A，f＝A　　例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则　　⑴＝f±g　　⑵＝f·g　　⑶＝……g≠0　　⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1＝1⑵＝e＝e………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，　　　　　　　则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。2、无穷大量定义：

2、在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。4、定理：f＝Af＝A＋a（a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量　　　　x：⑴x0时，y0。即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、　　（g()≠0）在点处连续。⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，　　则复合函数f(j(x))在点处连续。例：＝　　＝　　＝4、函数的间断点：　⑴可

3、去间断点：f＝A，但f不存在。　⑵跳跃间断点：f＝A，f＝B，但A≠B。　⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：　⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。　⑵若f与f异号，则方程f＝0在内至少有一根。　例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：xy＝f－f　　　　＝Af'＝A……y'，，。2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。3、基本初等函数的导数公式：　⑴＝0　⑵＝n·　⑶＝，＝　⑷＝·lnɑ，＝　⑸＝cosx

4、，＝－sinx　　　＝x，＝－　　　＝secx·tanx，＝－cscx·cotx　⑹＝－　　　＝－4、导数的运算：　⑴、四则运算法则：　　　＝±　　　＝·g(x)＋f(x)·　　　＝例：求下列函数的导数　　y＝2－5＋3x－7　　f(x)＝＋4cosx－sin　　y＝　⑵、复合函数的求导法则：　　yu，uv，vw，wxyx　　'＝''''　例：y＝lntanx　　　y＝ln　　　y＝arcsin　⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的　　　式子，先对y求导，然后y再对x求导。　例1：设方程xy－＋＝0确的隐函数y＝y

5、(x)，求；　例2、求方程式＋2y－x－3＝0所确定的隐函数在x＝0处的导数；5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。　例1：问曲线y＝上哪点处的切线与直线y＝3x－1平行？　例2：求曲线＋＝5在点处的切线方程。6、函数的可导性与连续性的关系：　　可导必连续，但连续不一定可导。7、高阶导数：y''，y'''，，…　　例：求y＝sin5x的三阶导数。二、微分1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx…df(x)＝f'(x)·x　例：求函数y＝当x＝2，x＝0.02时的微分。2、微分的几何意义：y的近似值。3、基本微分法则：⑴d(u±v)＝du

6、±dv⑵d(u·v)＝u·dv＋v·du⑶d(ku)＝k·d(u)⑷d＝例1、y＝sinx，求dy；例2、y＝ln，求dy；4、微分在近似计算中的应用　ydyf(＋x)－f()＝f'()·x　　f(＋x)＝f'()·x＋f()　例：求的近似值。三、导数的应用1、中值定理⑴罗尔定理：⑵拉格朗日定理：⑶柯西定理：2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限　　lim＝lim⑴基本型：，　　　：　　　：⑵其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”　　“0·∞”型＝或＝　　x·lnx　　“∞－∞”型：通分　　：对数式……　　：　　：　　：三、

7、函数的单调性、极值与凹凸性1、单调性：　　2、极值：　可能的极值点3、凹凸性：　　例求函数y＝3x－的极值、增减区间、凹凸区间。第三章一元函数积分学一、不定积分的概念及简单运算　　不定积分——求原函数1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,　　　　　　　则称F为f在区间I内的一个原函数　　　如：＝是的一个原函数。　　　　　＝cosxsinx是cosx的一个原函数。　　　观察：＝　　　　　　＝　　　　　　＝　　结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一　个常量。即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为

8、　f在区间I内的原函数。2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；　　　　　　　　记为：fdx　即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：fdx＝F＋C；　例：dx＝＋C；co