3、2′−xx22′−yx′−=2(yqx)⇒=()eyq()xe⇒=()xeq()xe222−xx−2⇒−()12xeq=(x)e⇒=qx()1−2x2x方程的通解是yc=e+x.谭泽光编www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦1006电话627960322006．9．12水木艾迪考研辅导班资料------微积分技巧班教务电话：62701055x2xx−xx2x−x例3．已知函数y=xe+e，y=xe+e，y=xe+e−e是某二阶线性常系123x数非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为_
4、___。y′′−y′−2y=(1−2x)e。−x2x解:根据线性非齐次微分方程的解的叠加原理，知y−y=e和2y−y−y=e13123是所求微分方程对应的二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关解，所以齐次方程的特()2征方程为：()λ+1λ−2=λ−λ−2=0，即得齐次方程为y′′−y′−2y=0。设所求微x2x分方程为y′′−y′−2y=f(x)，将y=xe+e代入得1()()xxfx=1−2xe，故所求微分方程为y′′−y′−2y=(1−2x)e。例4若二元函数z=f(x,y)的定义域是y1D={}(x
5、,y)0≤x≤1,0≤y≤x,则复合函数D4D2D3w()x,y=f(x+y,x−y)的定义域是下图中(C)D1(A)D∪D(B)D∪D(C)D(D)D13121021x解：w()x,y=f(x+y,x−y)的定义域是:⎧⎧01≤+xy≤⎫⎧≤⎧01xy+≤⎫⎪⎪⎪Dx=⎨⎨(,y)⎬=⎨(,xy)⎨⎬0≤x−y⎩⎭⎩0≤−xyx≤+y⎪⎪⎪⎩0≤y⎩⎭22)例5设f()x,y=x+yϕ()x,y，ϕ(x,y)在点(0,0)处连续，则f(x,y)在点(0,0处可微的充要条件是(C).(A)ϕ(x,y)在点(0
6、,0)处可微(B)ϕ(x,y)在点(0,0)处两个偏导数存在(C)ϕ()0,0=0(C)ϕ(x,y)在点(0,0)处两个偏导数连续例6．设f(x,y,z)有连续的偏导数，又设在约束条件x−2y−2z=10下函数f(x,y,z)条∂f件最大极为f(M0)，又设在点M0处=−2，则曲面f(x,y,z)=f(M0)在点M0处的∂x与轴夹锐角的一个法向量为（C）。A.(1,−2,−2)B.(−2,1,1)C.(−2,4,4)D.(−1,−2,2)谭泽光编www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦
7、1006电话627960322006．9．12水木艾迪考研辅导班资料------微积分技巧班教务电话：62701055⎧fM′()+=λ0x0⎪⎧Maxf(,xy,z)⎪fMy′()0−=2λ0解：⎨⇒⎨⎩st..x−−2y2z−10=0fM′()−=2λ0⎪z0⎪⎩xy−22−−z10=0⇒=()fMxy′′()00,f(M),fz′()M0λ(1,−2,−2).2∂FF∂∂FF∂例7．己知∀()x,y∈R,函数Fx(,y)满足条件yx+=0，⋅≠0,,设曲∂∂xy∂∂xy线L由方程Fx(),,y=F(xy
8、)确定,x,y是给定的不相等常数，则L是（B）.0000(A)过原点和(x,y)点的直线(B)过(x,y)点的椭圆0000(C)过(x,y)点的双曲线(D)过(x,y)点的抛物线0000∂∂FFFxx′dyFx′(xy,)解：yx+=0⇒−=;Fx(,,y)=F(xy)⇒=−.00∂∂xyFyy′dxFy′()x,y⎧dyx⎪=⎧xdx−ydy=02222曲线L满足微分方程⎨⎨dxy⇒⇒−xyx=−
