微积分上讲义

《微积分上讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2006．9．12水木艾迪考研辅导班资料------微积分技巧班教务电话：62701055微积分概念与技巧复习（上）----70题、讲30题清华大学数学科学系刘坤林问题1：如何意识到应用基本不等式解答与导引成功的引用往往需要对基本不等式进行适当变形，尤其是对变量记号及复合函数表达式的灵活运用，将是成功引用基本不等式的关键。例1.1设x∈(1,e)，则正确的是（）（A）sin()lnxlnx（C）sin()lnx≤lnx（D）（A）、（B）、（C）都不正确π解当x∈(1,e)时，0

2、等式<<。22a+bb−aab[证]先证左侧不等式。令g(0x)=lnx(x>a>)，在区间[a.b]上用Lagrange中值定理，∃ξ∈(a,b)，使得lnb−lna112ab2a=(lnx)′=>>=，b−ax=ξξbb(a2+b2)a2+b22alnb−lna因此得到<。22a+bb−a22注：以上用到了基本不等式a+b>2ab。或：取如下辅助函数，再利用增减性：22F(0x)=(x+a)(lnx−lna)−2a(x−a)(x>a>)，为证右边不等式，x−a令f(0x)=lnx−lna−(x≥a>)，f(a)=0（初值）ax2111a(x−a)f′(x)=−lna−(+)=<0，xa2

3、x2xx2xaxb−a于是f(x)<0，令x=b，f(b)=lnb−lna−0，级数∑an收敛，则级数∑[]。n=1n=1n（A）绝对收敛，（B）条件收敛，（C）发散，（D）不定。n−1∞(−1)an1211[解]注意到≤(an+2)，∑2收敛，n2nn=1n由级数运算性质及正项级数比较法，该级数绝对收敛。问题2：在大学数学学

4、习中没有特别注意到极限的保号性，极限的这一性质很重要吗？解答与导引：是的，极限的保号性很重要。这一性质除了对极限本身有重要的分析意义外，还是连续函数保号性，积分保号性与估值定理的理论基础，因此应重极限定义本身加深对保号性（保序性）的理解。例2．1假设存在N，使n>N时恒有x>y，已知limx=A与limy=B存在，则正nnnnn→∞n→∞确的是（）（A）A≥B（B）A≠B（C）A>B（D）A和B的关系不定解令a=x−y，则有a>0(n>N)，因此lima=lim(x−y)=A−B≥0。nnnnnnnn→∞n→∞故应选（A）.可以有A=B的情形，因此（B）（C）均不正确。例2．2设f(x)在[

5、−1,1]有二阶连续导数，且f′(0)=0，xf′′(x)lim=1，则（B）。x→01−cosx(A)f(0)是f(x)的极大值。(B)f(0)是f(x)的极小值。(C)(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点。(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。xf′′(x)【解】由lim=1，则可知f′′(0)=0，但不足以说明(0,f(0))为拐点。x→01−cosx根据极限的保序性知道，在x的某邻域内，必有f′′(x)>0，即知f′(x)在该0邻域内为单调增加，又因为f(0)=0，于是知道f′(x)在x=0两侧变号，即f(x)改变增减性，且当x通过x而变

6、大时，f(x)由递减变为递增，于是可以断定x=00刘坤林编www.tsinghuatutor.com2清华大学东门外创业大厦1006电话627960322006．9．12水木艾迪考研辅导班资料------微积分技巧班教务电话：62701055为f(x)的极小值点。即只有选项(B)正确。2xt例2．3极限limdt=（）。x→+∞∫x1+et1（A）1.（B）0.（C）.（D）不存在。2x[解]答案为（B）。由初等函数（e,x）性质，∃X>0，使当t2xx>X>0，且t∈[x,2x]时，有0<<，由积分保序性tx1+e1+e2xt2x2xx2x及比较性质得到0

7、x∫x1+ex2xt应用夹逼定理，得到limdt=0。x→+∞∫x1+et例2.4设fx()在x=a的某领域内连续,，且fa()为其极大值,则存在δ>0,当xa∈−(,δa+δ)时,必有（C）。(A)()xa−[f(x)−f(a)]≥0.(B)()xa−[f(x)−f(a)]≤0.f(t)−f(x)f(t)−f(x)(C)lim>0(x≠a).(D)lim<0(x≠a).t→a(t−x)2t→a(t−x)2例