李铁成微积分讲义31.pdf

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1、第3章连续函数2012-2013年秋季学期第6周学习材料1连连连续续续函函函数数数的的的概概概念念念及及及连连连续续续函函函数数数的的的性性性质质质定义1设f是定义在x0某个邻域上的函数。1.如果limf(x)=f(x0);x!x0即∀">0;∃>0;当0<

2、x−x0

3、<时，有

4、f(x)−f(x0)

5、<";也即∀">0;∃>0;当

6、x−x0

7、<时，有

8、f(x)−f(x0)

9、<";则称f在x0处连续；2.如果limf(x)=f(x0);x!x0即∀">0;∃>0;当x0−

10、f(x)−f(x0)

11、<";也即∀">0;∃>0;当x

12、0−

13、f(x)−f(x0)

14、<";则称f在x0处左连续；3.如果limf(x)=f(x0);+x!x0即∀">0;∃>0;当x0

15、f(x)−f(x0)

16、<";也即∀">0;∃>0;当x0≤x

17、f(x)−f(x0)

18、<";则称f在x0处右连续。例1设f是初等函数，x0∈D(f)，则f在x0处连续。例2设f:(a;b)→R是下凸函数，x0∈(a;b)，则f在x0处连续。1例3设f(x)和g(x)在x0处连续，f(x0)>0，则lnf(x);eg(x);f(x)g(x)在x0处连续。例4设f是定义在x0某

19、个邻域上的函数，则f在x0处连续⇐⇒f在x0处左连续、右连续，即极限limf(x)=f(x0)x!x0⇐⇒limf(x)=f(x0);limf(x)=f(x0).+x!xx!x00定义2设f是定义在x0某个邻域上的函数。如果f在x0处不连续，则称x0为f的间断点。1.若limf(x)和limf(x)至少有一个不存在，则称x0为f的第二类间断点。+x!xx!x002.若limf(x)和limf(x)都存在，但limf(x)̸=limf(x)，则称x0为f的第一类间断点。++x!xx!xx!xx!x00003.若limf(x)和limf(x)都存在，且

20、limf(x)=limf(x)，但limf(x)=limf(x)̸=f(x0)，+++x!xx!xx!xx!xx!xx!x000000即limf(x)存在，但limf(x)̸=f(x0)，则称x0为f的可去间断点。因为此时若令x!x0x!x0f(x);当x̸=x0;F(x)=limf(x);当x=x0:x!x0则F在x0处连续。例5(1).设1f(x)=sin(x̸=0):x则极限limf(x)不存在，故0为f的第二类间断点。（画图）x!0+(2).设f(x)=[x](x≥0):则对n∈Z+，有limf(x)=n;limf(x)=n−1，故

21、n为f的第一类间断点。（画图）x!n+x!n(3).设sinx;当x̸=0;xf(x)=3;当x=0:则limf(x)=1，但limf(x)̸=f(0)，故0为f的可去间断点。（画图）x!0x!x0命题1（局部有界性）若f在x0处连续，则f在x0附近有界，即∃0>0，∃M0>0，使得

22、f(x)

23、≤M0;∀x∈N(x0;0):2命题2（局部保号性）设f在x0处连续。(1).若f(x0)>0，则∃>0，当

24、x−x0

25、<时，有f(x)>0:(2).若f(x0)<0，则∃>0，当

26、x−x0

27、<时，有f(x)<0:命题3（四则运算）设f和g在x0

28、处连续，则(1).f+g;f−g;f·g在x0处也连续。f(2)当g(x0)̸=0时，g在x0处连续。命题4（复合函数连续性）设g在x0处连续，f在u0=:g(x0)处连续，则f◦g在x0处连续。证：（画图）∀">0，由f在u0=:g(x0)处连续，∃>0，当

29、u−u0

30、<时，

31、f(u)−f(u0)

32、<":对于上述>0，再由g在x0处连续，∃1>0，当

33、x−x0

34、<1时，有

35、g(x)−g(x0)

36、<;即

37、g(x)−u0

38、<;于是

39、f◦g(x)−f◦g(x0)

40、=

41、f(g(x))−f(u0)

42、<";所以f◦g在x0处连续。2区区区间间间上上上连

43、连连续续续函函函数数数的的的性性性质质质设I是一个开区间。若f:I→R在I中每个点都连续，则称f在I上连续，并记f∈C(I).记号f∈C[a;b]表示f在开区间(a;b)内处处连续，在点a右连续，在点b左连续。定理1（有界-最值定理）设f∈C[a;b]，则1.f有界。2.∃x;x∈[a;b]，使得对∀x∈[a;b]，有f(x)≤f(x)≤f(x):3证：1.反证法。若不然，∀n∈Z+，则n不是f的界，于是∃xn∈[a;b]，使得

44、f(xn)

45、>n;从而得到数列{xn}⊂[a;b].由Bolzano定理知，数列{xn}⊂[a;b]有收敛的子列数列{x

46、nk}.记=:limxnk:k!1由数列极限保号性的注释知，∈