李铁成微积分讲义33.pdf

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1、第3章连续函数2012-2013年秋季学期第6周学习材料1连连连续续续函函函数数数的的的概概概念念念及及及连连连续续续函函函数数数的的的性性性质质质2区区区间间间上上上连连连续续续函函函数数数的的的性性性质质质3一一一致致致连连连续续续例1设I是R中的一个区间，f2C(I)，则8x02I，f在x0处的极限为f(x0)，即8x02I，8">0;9>0，当x2I且jxx0j<时，有jf(x)f(x0)j<":注意：一般而言，不仅依赖于"，还依赖于x0.例如，设f(x)=1;x2(0;1).问题:8">0，取=?，使得当jxxj<时，有j11j<":x00xx0解：⌈⌋j11j

2、=jxx0j0，取=minfx0;x0"g，当jxxj<时，有220j11j=jxx0j(因为jxxj<x0，故x>x0)xx0xx0022jxx0jx202<x2022"(因为x0"):2定义1（一致连续）设I是R中的一个区间，f是定义在I上的函数。若8">0，9>0，当x1;x22I且jx2x1j<时，有jf(x2)f(x1)j<";则称f是一致连续。注1若f:I!R一致连续，则f2C(I)，且有一个对所有的x02I都适用。一致连续的几何意义？1例2p证明x在[0;+1)一致连续。证：⌈pp⌋函数x最陡的地方在哪？在x

3、=0!8">0，=?画图，=".8">0，取="2，当x;x2[0;+1)且jxxj<时，12211.若x1;x22[0;).不妨设x1x2，则ppppppjx2x1j=x2x1x2<=";2.若x1;x2至少有一个大于等于.不妨设x2，则ppjx2x1jjx2x1jjx2x1j=ppp0，8>0，9x1;x22(0;1)，使得jx2x1j<，但x2x1"

4、0.令"=()，对8>0，取x2(0;1)(0;)，x=x1.则x;x2(0;1)，012212x1111jx2x1j=<;但=1:2x2x1x1所以1在(0;1)不一致连续。x例4设函数f在有限开区间(a;b)一致连续，则f在(a;b)有界。证：由已知，9>0，使得当x1;x22(a;b)时，jf(x1)f(x2)j<1:取a1;b1，使得a

5、(a;a1)时，jf(x)jjf(x)f(a1)j+jf(a1)j1+jf(a1)j1+M1;当x2(b1;b)时，jf(x)jjf(x)f(b1)j+jf(b1)j1+jf(b1)j1+M1:所以f在(a;b)的界为1+M1.2定理（Cantor）设f2C[a;b]，则f一致连续。证：反证法。若不然，9"0>0，8>0，9x1;x22[a;b]，使得jx2x1j<，但jf(x2)f(x1)j"0，特别8n2Z，9u;v2[a;b]，使得juvj<1，但jf(u)f(v)j".+nnnnnnn0从而得到数列fung;fvng[a;b].由Bolz

6、ano定理知，数列fung[a;b]有收敛的子列funkg.记=:limunk:k!1由数列极限保号性的注释知，2[a;b]；再由f在处连续知，limf(xnk)=f():k!1又由juvj<11知，nknknkklimvnk=;k!1从而limf(vnk)=f():k!1故lim[f(unk)f(vnk)]=0;k!1但这与jf(unk)f(vnk)j"0;k2Z+矛盾。该矛盾说明原假设不对，所以f一致连续。例5设f2C[a;+1)，且极限limf(x)存在，则f一致连续。x!+1证：反证法。若不然，9"0>0，8>0，9x1;x22[a;b]，使得jx2

7、x1j<，但jf(x2)f(x1)j"0，特别8n2Z，9u;v2[a;+1)，使得juvj<1，但jf(u)f(v)j".+nnnnnnn0情况1.数列fung有界。则由Bolzano定理知，数列fung有收敛的子列funkg.记=:limunk:k!1由数列极限保号性的注释知，2[a;+1)；再由f在处连续知，limf(xnk)=f():k!1又由juvj<11知，nknkn