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《工科数学分析第1学期期末考试试卷与答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一、填空题sinx−arctanx11.lim=；3x→0x6dx2222．∫txtcos(−=)dtxcosxdx03．如果∫f()sinxxdxxxC=sin+x∈(0,)π，则f()x=1c+xot.x；+∞lnx4．dx=1；∫1x2⎧dy−y⎪−=20xe,25．初值问题⎨dx的解为yx=+ln(1)；⎪y=0⎩x=06．用定积分表示⎛⎞11111101lim⎜⎟++"+=∫∫dxdx=dxn→∞⎝⎠nn++12n+n091+xx−8二、选择题1．下列级数中条件收敛的是（D）∞n∞n−13!nnα（A）∑(1)
2、−n；（B）∑(1)(1cos)(−−α>0常数；)n=1nn=1n∞∞n11n+n11（C）∑(1)(−−ln)；（D）∑(1)(−−n).n=1nnn=1n2⎧121⎪2sinxx−cos,≠0,222．设函数fx()=⎨xxx,则（A）⎪⎩0,x=0（A）f()x在(,)−∞+∞上有连续的原函数；（B）x=0是f()x的连续点；（C）fx()∈ℜ−[1,1]；（D）因为lim()fx=∞，所以fx()∉ℜ−[1,1].x→02secxdx1tanx三、1解：=arctan+C∫29tan+x332222222解：∫
3、∫x21xxdx−=x−(1−xdx)00xt−=1122=+−∫(1tt)1dt−1122=+−2(1)1∫ttdt0第2页（共4页）tu=sinπ222=+2(∫sin1uu)cosdu05π=8yt21sintdydy23设yyx=()由方程∫∫0edt+x2dt=0确定，求，2．2tdxdxdy−y22解：=exsin；dx2dy−y222=−2(cexxyosyx'sin)2dx22−−yy222=−2(cexxyosesin)x22四、1．求函数yxx=−(5)3的极值，单调区间及曲线yxx=−(5)3的拐点
4、，凹凸区间.5(x−2)解:令yx′()==0，33x解得驻点x=2,不可导点为x=0,2且yxx=−(5)3在(,−∞0)(2,+∞)内单调递增，在(0,2)内单调递减,3所以y(2)=−34为f()x的极小值，y(0)=0为f()x的极大值；10(x+1)yx′′()==0,93x4解得x=−1，且x=0是二阶导数不存在的点。2且yxx=−(5)3在(,1−∞−)内是凹的，在(1,)−+∞内是凸的，所以(1,6)−−是拐点.2．设非负函数yyxx=≥()(0)满足微分方程xy′′′−y+=20，又已知当y(0)=0时
5、，曲线yyx=()与x=1及y=0所围图形σ的面积等于2，求yx()，并求图形σ绕y轴旋转所得旋转体的体积.解xy′′−+=y′20是可降阶方程，令p=y′，则xp′−p+=20，12解一阶线性方程pp′−+=0得，xx11∫∫dx22−dxp=+ecxx()∫−edxx=(c+)=xc+2，xx2yx=+=+(2cd)xcxx2+c，其中c，c为任意常数，∫1212代入条件y(0)=0，得c=0，2第3页（共4页）11c21又由条件，有2(==yxdx)(2)1xcxdx+=+，于是得c=3.∫∫110032故所求非负
6、函数为yxx==+32图形σ绕y轴旋转所得旋转体的体积11172Vx==2(π∫∫yx)2(dxxππ2x+3x)dx=006五、对于积分中值定理：若函数f()xCab∈[,],则至少存在一点ξ∈[,],ab使得b∫f()dxxf=−()(ξ（，ba)问ξ∈[,]ab能否改为ξ∈（）ab,？（要说明理由）a答：能改为ξ∈（）ab,x事实上，∵f()xCab∈[,],由微积分基本定理，Φ=()x∫ftt()d是f()x的一个原函数，a即Φ=′()xfx()，由Newton-Leibitz公式和Lagrange微分中值定理，
7、有b∫f()dxxb=Φ()−Φ()aa=Φ−′()(ξba)f()(ξ（ba−)，ξ∈（）ab,2x六、1．证明：当x>0时，ln(1+>−xx)．22x证明：令f(x)=ln(1+x)−x+22xf′(x)=>01+xf(x)>f(0)=02设f()x在[0,2a](a>0)上连续，证明：2aa∫∫f()xdx=+[()fxfaxdx(2−)].0022aaa证明：∫∫∫f()xdx=+fxdx()fxdx()00a2atx−=a0=+∫∫f(2atdt−−)()0aa=+∫[]f()xfaxd(2−)x03．设f(
8、)x的二阶导数f′′()x在[2，4]上连续，且f(3)=0．（1）将f()x在x=3处展开成带Lagrange余项的一阶Taylor公式；第4页（共4页）4（2）证明在[2，4]上必存在一点ξ，使得f′′()3ξ=∫fxdx()．2f′′()ξ2证明：（1）fxf()=−′(3)(x3)+−(x3)ξ在3与x之间；
