工科复变5-2 [兼容模式].pdf

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1、5-2留数和留数定理一Δ、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数1一Δ、留数的定义和计算设z为f(z)的一个孤立奇点;0.zz0的某去心邻域0zz0R0C包含z0的任一条正向简单闭曲线C.定义如果z为函数f()z的一个孤立奇点,则沿0z0的某个去心邻域0zz0R内，包含z0的任意一条简单闭曲线C的积分f(z)dz的值除C以2i后所得的数称为f()z在的z0留数(Residue),记作Res[f(z),z].021.z计算留数f(z)dzC02iCf(z)在0zzR内的Laurent级数:0n1f

2、(z)c(zz)c(zz)cn0100nc(zz)c(zz)10n03积分f(z)dzCn1c(zz)dzc(zz)dzn010CC2i0(高阶导数公式)ncdzc(zz)dzc(zz)dz010n0CCC0(柯西积分定理)2ic11Laurent级数中负幂项c(zz)的系数104即1f()dzzc1Res[f(z),z0](521)2iC注fz()在z的留数为fz()在z为中心的圆环001域内的Laurent级数

3、中负幂项czz10()的系数。5计算留数的一般公式（1）若z为函数f(z)的可去奇点，则它在点z的00留数为零。当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g为偶函数，则f(z)在点z的去心邻域内Laurent级数0只含z-z的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得0知Resf(z),z006(2)如果z0为f(z)的本性奇点,则需将f(z)展开成Laurent级数求c.1(3)如果z0为f(z)的极点,则有如下计算规则7规则1o若z为f(z)的一级极点，则有0Resf(z),z0lim(zz0)f(z)(52

4、2)zz08规则2o若z为f(z)的m级极点，则对任意整数0nm有n11dnResf(z),zlim[(zz)f(z)]0n10(n1)!zz0dz(523)说明将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可看作规则2o当n=m=1时的特殊情形，且规则2o可取m=1.9证明先证规则2o，由于z为f(z)的m级极点，因0此可设在0<

5、z-z

6、<ρ内有0ccm1f(z)m(zz)zz00于是对nm得nnmn1n(zz)fzc(zz)c(zz)c(zz)0m01000(0z

7、z)0Laurent级数在其收敛环域内逐项微分得n1dn(zz)fz(n1)!cn!c(zz)n10100dz令zz0，规则2o成立；令n=m=1，规则1o成立10P(z)规则3设f(z),P(z)及Q(z)在z都解析，0Q(z)如果P(z0)0,Q(z0)0,Q(z0)0,那末z0为f(z)的一级极点,且有P(z)0Res[f(z),z].(524)0Q(z)0证因为Q(z)0,Q(z)00011所以z为Q(z)的一级零点,01z0为的一级极点，P(z0)0Q(z)所以z为f(z

8、)的一级极点,0Res[f(z),z]lim(zz)f(z)00zz0P(z)limzz0Q(z)Q(z0)zz0P(z)0.Q(z)012典型例题ze例1求f(z)在z0的留数.nz解因为z0是f(z)的n阶极点，zn1ze1dne所以Resn,0(n1)!limz0dzn1zznz1.(n1)!13P(z)zsinz例2求f(z)6在z0的留数.Q(z)z分析P(0)P(0)P(0)0,P(0)0.z0是zsinz的三级零点所以z0是f

9、(z)的三级极点，由规则2得21d3zsinzRes[f(z),0]limz.(31)!z0dz2z6计算较麻烦.14解如果利用Laurent展开式求c1较方便:35zsinz1zz66zzzz3!5!31zz,3!5!zsinz1Res,0c.z615!15说明:1.在实际计算中应灵活运用计算规则.如为zm级极点，当m较大而导数又难以计算时,0可直接展开Laurent级数求c来计算留数.12.在应用规则2时,为了计算方便一般要将m取得比实

10、际的级数高.因为有时把m取得比实际的级数高能够使得计算方便.如上例取m6511d6zsinz.Resf(z),0limz(61)!z0dz5z65