工科复变函数与积分变换教学改革探析

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1、工科复变函数与积分变换教学改革探析　　摘要：工科复变函数与积分变换的课程性质不同于大学其他数学基础课程。本文从教学思想、教学内容、教学方法三方面就如何提高工科复变函数与积分变换教学质量给出了几点建议。　　关键词：工科复变函数与积分变换；教学思想；教学内容；教学方法　　中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）22-0038-02　　工科复变函数与积分变换主要是面向工科光电类、机电类、通信类、生物医学类专业开设的一门专业基础必修课程。尽管课程名称综合了复变函数论、积分变换两门数学系的专业基础课程，但从授课内容和对学生要求程度与数学专业的两门课程截然不同。它

2、也不同于大学其他数学基础课程，如高等数学、线性代数、概率论与数理统计的教学，因为它主要是为后继专业课服务的，受学时和专业课要求所限，讲授时不可能像高等数学、线性代数、概率论与数理统计那样面面俱到，不可能把每一个概念、定理都逐个讲透。如何提高工科复变函数与积分变换的教学是一个值得探讨的问题，我们就三方面进行讨论。　　一、教学思想方面　　首先，工科复变函数与积分变换是专业基础必修课程，是为后继很多门工科专业课服务的，比如自动控制原理、信号分析与信号处理、医学成像与图像处理等专业课程。教学指导思想应遵循以下两个基本原则。5　　1.强计算、弱证明。工科讲授的复变函数主要内容体系分为复数与复变函数、

3、解析函数、复变函数积分、复级数、留数理论、共形映射六大部分，其中解析函数、复变函数积分和共形映射部分涉及到很多的定理证明问题，比如复合闭路定理、闭路变形原理、平均值定理、最大模原理等，这部分对工科学生掌握起来偏难，可以淡化证明，简单推导，对一些过难的定理可以作为自修内容，而对专业课涉及的留数理论、级数理论还有各种积分方法的具体类型题，计算则要详细讲解，重点推导。工科积分变换也是同样，涉及到傅里叶积分展开定理证明、傅里叶变换推导、拉普拉斯变换推导、狄拉克函数背景和性质可以略讲，给出结果即可，而对利用两种变换的性质计算的类型题则应加强练习，熟练掌握。　　2.重视工科复变函数与积分变换与后继专业

4、课的衔接。在自动控制原理、信号分析与信号处理、医学成像与图像处理这些专业课程中用到的大部分是积分变换的知识，讲解过程中应注意提及要衔接内容，引发学生学习兴趣，比如在讲拉普拉斯变换应用时就可以强调信号输入输出实质就是将一类函数经过某种变换以另一类函数输出。　　二、教学内容方面　　工科复变函数与积分变换的学时通常在32～64学时左右，要想每一部分内容都细致深入的讲解是根本办不到的，因此在内容讲解上应该注意抓重点，常归纳，重应用。比如帮助学生归纳复变函数积分可以按积分曲线的不同分成闭合曲线和非闭合曲线两大类，闭合曲线上的积分又可以分成：（1）定义法：即化复变函数的积分为实部、虚部两个实变二元函数

5、的曲线积分问题。（2）柯西―5古萨基本定理。（3）利用已知结果求其他一大类积分，即在包含a点的圆周上做关于■的积分结果为2πi。（4）柯西积分公式。（5）高阶导数公式。（6）级数法。（7）留数法，通过总结使学生对积分方法做到理解深刻。在重应用方面，工科复变函数与积分变换讲解要尽可能避免数学的抽象，尽可能多的联系实际，强调应用。比如讲清复变函数实质就是一个平面稳定场，保角映射的应用就主要在平面场和平面流场上。傅里叶变换的物理意义实质就是物理上常用的频谱概念。拉普拉斯变换的应用可以用于求解常系数线性微分方程初值问题及某些特别的微分、积分方程的初值问题，这种方法常在电路理论和自动控制理论的线性系

6、统中应用。　　三、教学方法方面　　大多数工科院校在讲授工科复变函数与积分变换这门课程时还停留在传统的以老师讲授为主的基础上，教学效果并不理想，适当加入引导式、启发式和讨论式教学乃至案例实验教学可以达到事半功倍的效果。　　1.引导式教学。在教学过程中应通过问题引导式教学激发学生的学习兴趣。比如提出研究复变函数和实变函数联系的问题，在开始接触时应不断引导学生找出二者区别与联系。以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究

7、复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数求极限，解析函数求导，求积分，级数展开都可以用实变函数的对应理论研究。5　　2.启发式教学。启发式教学是指教师在教学过程中根据教学任务和学习的客观规律，从学生的实际出发，采用多种方式，以启发学生的思维为核心，调动学生的学习主动性和积极性，促使他们生动活泼地学习的一种教学指导思想。比如启发学生自己发现复变函数的主题研究对象是解析函数，重点是解析函数孤立奇点处的