复变函数工科第五讲.ppt

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1、第二章§3初等函数1、指数函数定义注：定义域为全平面当y＝0时，它即为实变量指数函数一、指数函数定义3.1对于任何复数z=x+iy,规定2指数函数的性质复指数函数与实指数函数保持一致.(4)加法定理(5)ez是以2i为基本周期的周期函数因为：当z沿实轴趋于+∞时ez∞;当z沿实轴趋于-∞时,ez0.2i是ez的周期上述这个性质是实变指数函数所没有的。（7）解析性:在全平面上解析，且二、对数函数1.定义对数函数定义为指数函数的反函数.满足方程的函数称为对数函数，记作．注：注意符号的正确书写，以免发生混乱。事实上:容易看到,u是单值的,而由幅角函数

2、的多值性知道,v是多值的；因为幅角,所以若规定Argz取主值argz,则得Lnz的一个单值“分支”，记作:lnz,称为Lnz的主值支，即：则这时，有当z=x>0时,Lnz的主值lnz=lnx，即实对数函数。三种对数函数的联系与区别：例1求解因为-1的模为1，其辐角的主值为，所以而又因为i的模为1，而其辐角的主值为，所以2.例题:在实变函数中,负数无对数,上例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.练习求：和它们的主值解：3.性质:4.解析性:当a为正实数,且z=0时,还规定三、幂函数1.

3、定义:注：一般也是多值函数。2.性质:3.解析性课堂作业：四、三角函数1.三角函数的定义：由于Euler公式，对任何实数x，我们有：所以有因此,对任何复数z,定义正弦函数和余弦函数如下：解根据定义,有(2)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.2.正弦与余弦函数的性质遵循通常的三角恒等式，如(5)sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=kcosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(k+1/2)k=0,1,2,···,n,···(注意：这是与实变函数完全不同的)(6)sinz,cosz在复数域内均是无界函数例如z=2i时，有即:c

4、osz与sinz不再是有界函数,因此,

5、sinz

6、1和

7、cosz

8、1在复数范围内不再成立.3.其他复变数三角函数的定义五、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性3.三角正弦与余弦不再具有有界性2.负数无对数的结论不再成立思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复

9、变三角函数中,作业P37页9,181.（　　　）A.无定义B.0C.πiD.(2k+1)πi(k为整数)2.求复数1-i的模为();-1-i的模为()3.