复变函数 第12讲.ppt

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1、复变函数第16讲1分式线性映射公式:2现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域;(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.3x1-ii-1C1C2y(z)O4[解]所设的两个圆弧的交点为-i与i,且相互正交.交点-i映射成无穷远点,i映射成原点.因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,

2、张角等于p/2.此点在第三象限的分角线C1'上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.5映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)6例2求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆

3、w

4、<1的分式线性映射.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)7[解法一]将上半平面看成半径为无穷大的圆域,实轴就是圆域的边界圆周.因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面Im(z)>0映射成单位圆

5、w

6、<1.由于上半平面总有一点z=l要映成单位圆周

7、w

8、=1的圆心w=0,8从而所求的分式线性映射具有下列形式:其中k为常数.9反之,形如上

9、式的分式线性映射必将上半平面Im(z)>0映射成单位圆

10、w

11、<1.因为当z取实数时即把实轴映射成

12、w

13、=1.又因为上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.2)必将Im(z)>0映射成

14、w

15、<1.10也可以在x轴上与在单位圆周

16、w

17、=1上取三对不同的对应点来求:[解法二]在x轴上任意取定三点:z1=-1,z2=0,z3=1使它们对应于

18、w

19、=1上三点:w1=1,w2=i,w3=-1,则因z1z2z3跟w1w2w3的绕向相同,由(6.3.1)式得所求的分式线性映射为化简后即得11注意:如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于(6.

20、3.3)的分式线性映射.此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多.这从(6.3.2)中的q可以任意取实数值即可明白.(6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的.如果以l=i,q=0代入(6.3.2),则这也是一个把上半平面Im(z)>0映射成单位圆

21、w

22、<1,且将点z=i映射成圆心w=0的映射.12例3求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆

23、w

24、<1且满足w(2i)=0,argw'(2i)=0的分式线性映射.[解]由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.2)得

25、因为故有13从而得所求的映射为14例4求将单位圆

26、z

27、<1映射成单位圆

28、w

29、<1的分式线性映射.x1y(z)OOuv(w)1a15[解]设z平面上单位圆

30、z

31、<1内部的一点a映射成w平面上的单位圆

32、w

33、<1的中心w=0.这时与16由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当

34、z

35、=1,

36、w

37、=1.将圆周

38、z

39、=1上的点z=1代入上式,得所以

40、k'

41、=1,即k'=eij.这里j是任意实数.17因此,将单位圆

42、z

43、<1映射成单位圆

44、w

45、<1的分式线性映射的一般表示式是反之,形如上式的映射必将单位圆

46、z

47、<1映射成单位圆

48、w

49、<1.这是因为圆周

50、

51、z

52、=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周

53、w

54、=1上的点:同时单位圆

55、z

56、<1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆

57、z

58、<1映射成单位圆

59、w

60、<1.18例5求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射.[解]由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2映射成

61、w

62、<1的中心.所以由(6.3.5)得1920例6求将Im(z)>0映射成

63、w-2i

64、<2且满足条件w(2i)=2i,argw'(2i)=-p/2的分式线性映射.[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2将

65、w-2i

66、<2映射成

67、z

68、

69、<1.但将Im(z)>0映射成

70、z

71、<1且满足z(2i)=0的映射易知为212i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)2223§4几个初等函数所构成的映射241.幂函数w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍25O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn26例1求把角形域0

72、w

73、<1的一个映射.[解]z=z4将所给角形域0<

74、argz

0.又从上