复变函数第3讲.ppt

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1、§5复变函数的极限与连续性1.复变函数的定义：设G是一个复数集合,如果对于集合G中的每一个数z,按照一定的法则，就有一个或几个复数w与之对应，那么就称复变数w是复变数z的函数，简称复变函数。记作则复变函数又可表示为：注：若记即一个一元复变函数实际上对应于两个二元实变函数。几个名词：单值函数，多值函数，定义集合，函数值集合，定义域等。如:2、映射：映射是现代数学中的一个常用概念ABab。。定义：若对集合A中的任一元素a，按照某种对应关系f总有集B中的元素b相对应，则称f是集合A到集合B的一个映射，记为f:a→b，a、b分别称为映射的原象和象于是，如果例题1：考察

2、的映射性质解：记原象点，则象点因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，幅角是原来的二倍，这样不难发现，这一映射有这样的特性：将顶点在原点的角形域映成角形域，只不过夹角扩大为二倍。如：将z平面第一象限映成w平面一、二象限，将单位圆映成单位圆。用z平面上的点表示自变量z的值用另一平面（w平面）上的点表示函数w的值，则函数w=f(z)就可以看作是从z平面上的点集G（定义值集合）到w平面上的一个点G*集（函数值集合）映射（或变换）。例题2.函数把z平面上的曲线映成w平面什么曲线?解：原象曲线的复方程为：代入映射函数中，得到象曲线方程为：记则——这就是象曲线的实参数方程

3、。消去参数,得这是一圆周假定函数ｗ＝f(z)的定义集合为z平面上的集合G，函数值集合为w平面上的集合G*，那么G*中的每一个点w必将对应着G中的一个（或几个）点。按照函数的定义，在G*上就确定了一个单值（或多值）函数z=g(w)，它称为w=f(z)的反函数，也称为映射w=f(z)逆映射。显然，函数与其反函数之间有如下关系：对于任意w∈G*，有w=f[g(w)]；当反函数为单值函数时，有z=g[f(z)],z∈G。为了方便，我们以后不再区分函数与映射。如果映射与其逆映射都是单值的，我们称此映射是一一对应的。复变函数的的反函数：3.函数的极限定义：设函数w=f(z

4、)在z0的去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0,相应地总有δ>0存在，使得当0<

5、z-z0

6、<δ时，恒有

7、f(z)-A

8、<ε成立，则称A为f(z)当z趋向于Z0时的极限。记作：或者注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点跟二元函数的极限又有相似之处。所以，如果仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限存在。当然了，如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定不存在。相关性质定理的重要意义在于将复变函数的极限问题

9、转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已经讨论过的问题。4.函数的连续性由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题本定理的证明可根据定理1立即得到相关性质根据定理2和定理3还可推得定理4.1)连续函数的和、差、积、商仍是连续函数2)连续函数的复合函数还是连续函数2.在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的。即存在正数M，在曲线上恒有

10、f(z)

11、≤M。3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、最小值定理，介值定理不再成立。注课堂练习：因而是一椭圆解：共有n个证明根之和为0，直接相加不方便，简单的方法为：然后呢？比较

12、两端n-1次幂的系数！由此还可看出，n个根的乘积为（-1)n+1z1z2z3w1w2w3等式说明：所以表示二三角形相似！