复变函数第14讲.ppt

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1、复变函数第14讲1§3留数在定积分计算上的应用21.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,3其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周

2、z

3、=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆

4、z

5、=1内的f(z)的孤立奇点.4例1计算的值.[解]由于0

6、z

7、=1

8、内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.789取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx10此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.111213143.形如的积分当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的

9、z

10、有15因此,在半径R充分大的CR上,有16注:在半圆CR上的曲线积分,半圆曲线的参数方程为:因此1

11、71819例4计算积分的值[解]因为是偶函数,所以上式右端的积分与例3中所计算的积分类似,故可从eiz/z沿某条闭曲线的积分来计算上式右端的积分.但是,z=0是eiz/z的一级极点,它在实轴上.20令x=-t,则有即21因此,要算出所求积分的值,只需求出极限(5.3.3)下面将证明22由于所以(5.3.4)23j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当

12、z

13、充分小时可使

14、j(z)

15、2,由于而在r充分小时,24从而有因此得到(5.3.5)所以由(5.3.3),(5.3.4)与(5.3.5)就可求得即2526或当R时,上式右端第一个积分为27而

16、第二个积分的绝对值:因此令两端的实部与虚部分别相等,得28