复变函数第10讲.ppt

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1、复变函数第10讲1§3泰勒级数2设函数f(z)在区域D内解析,而

2、z-z0

3、=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz3按柯西积分公式,有其中K取正方向,且有4代入(4.3.1)得由解析函数高阶导数公式(3.6.1),上式可写成5在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达q与积分变量z无关,且0q<1.6K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使

4、f(z)

5、M.7因此,下面的公式在K内成立.称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,

6、只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则(4.3.4)在圆域

7、z-z0

8、

9、z-z0

10、

11、z-z0

12、

13、a-z0

14、.这是因为f(z)在收敛圆内解析,故奇点a不可能在收敛圆内.又因为奇点a不可能在收敛圆外,不然

15、收敛半径还可以扩大,因此奇点a只能在收敛圆周上.Oxyz0a10任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.这是因为,假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级数:f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...,则f(z0)=a0.而f'(z)=a1+2a2(z-z0)+...于是f'(z0)=a1.同理可得11利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)

16、z=0=1,(n=0,1,2,...)故有因为ez在复平面

17、内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为.12同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:因为sinz与cosz在复平面上处处解析,所以这些等式也在复平面内处处成立.13除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质(定理四),以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:1415例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在

18、z

19、<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy161

20、7例3求幂函数(1+z)a(a为复数)的主值支:f(z)=ealn(1+z),f(0)=1,在z=0处的泰勒展开式.显然,f(z)在从-1起向左沿负实轴剪开的复平面内解析,因此必能在

21、z

22、<1内展开成z的幂级数.18[解法1]用待定系数法展开.由于可知f(z)满足微分方程(1+z)f'(z)=af(z).设f(z)=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…19(1+z)f'(z)=af(z).f(z)=a0+a1z+a2z2+…+anzn+…代入微分方程有(1+z)(a1+2a2z+3a3z2+…+nanzn-1+…)=a(a0+a1z+a2z2+…+anzn+…)即a1+(a1+2a2)

23、z+(2a2+3a3)z2+(3a3+4a4)z3+…+[(n-1)an-1+nan]zn-1+…=aa0+aa1z+aa2z2+aa3z3+…+aan-1zn-1+…比较上式两端z的同次幂的系数并注意a0=f(0)=120a1+(a1+2a2)z+(2a2+3a3)z2+(3a3+4a4)z3+…+[(n-1)an-1+nan]zn-1+…=aa0+aa1z+aa2z2+aa3z3+…+aan-1zn-1+…比较上式两端z的同次幂的系数并注意a0=f(0)=1,得21得22所求展开式为(4.3.10)23[解法2]直接从f(z)=ealn(1+z)算出泰勒展开式的系数.为了方便,设j(

24、z)=ln(1+z),(1+z)=ej(z),所以f(z)=eaj(z).求导,得24继续求导得令z=0,得于是得所求展开式(4.3.10)2526在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受

25、x

26、<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.27而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数它有两个奇点i,而这