复变函数第10讲(II)

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1、§3泰勒级数我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数.对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.下面给出关于这一问题的结论.1定理1（Taylor定理）Dk证明：2Dkz把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式3而(3)又可以写为456事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的.78(1)直接法----利用公式;(2

2、)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、分析运算等方法来展开.函数展开成Taylor级数的方法：例如92、几个初等函数的泰勒展开式例1解:思考题:1011例2把下列函数展开成z的幂级数:解12(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为z<1.注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致.（逐项积分、求导，收敛半径不变）13例3解14若f(z)在z0解析，则f(z)可以在z0的某邻域内展开成z-z0的幂级数.一个自然的问题是:如果在环域r<z-z0

3、析，f(z)能否用级数表示呢？§4洛朗(Laurent)级数本节将讨论在以z0为中心的圆环形区域内解析的函数的级数表示法.它是后面研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.151、双边幂级数---含有正负幂项的级数定义具有如下形式的级数称为双边幂级数，正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：16级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R，则当z-z0R时，级数发散.17z0rRz0Rr18现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题.关于这个问题的答案是肯定的，

4、这就是下面要讨论的洛朗定理.192、函数展开成双边幂级数定理)5()()(,:)(00则内解析在设.0的任何一条简单闭曲线内绕是zDczzczfRzzrDzfnnn-=<-<å¥-¥=20(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的去心邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开.级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.21由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式.例1解：22例2解：例323例4x

5、yo12xyo12xyo1224解:252627解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo1228(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：y29本讲内容小结1、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算公式，收敛半径）2、几个简单函数的泰勒展式3、函数的间接展开30